Warum sind von Neumann-Algebren in der Quantenphysik wichtig?

Wie bereits erwähnt, bilden von Neumann-Algebren das Herzstück axiomatischer Ansätze zur Quantenfeldtheorie und statistischen Mechanik, klassische Referenzen zu diesen Themen sind für erstere (es gibt natürlich noch viel mehr)

• Hellmut Baumgärtel: „Operatoralgebraische Methoden in der Quantenfeldtheorie“.

und für letzteres

• Ola Bratteli und Derek W. Robinson: "Operatoralgebren und statistische Quantenmechanik." (zwei Bände).

Die Grundidee ist, dass die Observablen einer physikalischen Theorie eine algebraische Struktur haben sollten, zum Beispiel sollte es möglich sein, sie zu skalieren, also c*A statt A zu messen. Mehr noch, man sollte in der Lage sein, alle (messbaren, kein Wortspiel beabsichtigt) Funktion jeder beobachtbaren A, die möglich ist, wenn A ein Mitglied einer von Neumann-Algebra durch Borel-Funktionskalkül ist. Die Philosophie der axiomatischen Quantenfeldtheorie im Sinne von Haag-Kastler besteht also darin, dass eine bestimmte QFT durch ein Netz von von Neumann-Algebren spezifiziert wird, die einen bestimmten Satz von Axiomen erfüllen, und dass alles andere aus diesem Netz von Algebren abgeleitet werden kann (z ein Beispiel finden Sie auf der Seite zum nLab hier ).

Wie Lubos betonte, war dieser Ansatz sehr erfolgreich beim Beweisen vieler modellunabhängiger Einsichten/Theoreme, wie dem PCT- und Spin/Statistik-Theorem, aber nicht erfolgreich bei der Beschreibung des Standardmodells, soweit ich weiß, ist dies nicht der Fall möglich, diesen Ansatz zu verwenden, um jede Zahl zu berechnen, die mit jedem Experiment verglichen werden könnte, was einige Kritik an der Stringtheorie in dieser Richtung relativiert.

Andererseits ist es möglich, den Unruh-Effekt und die Hawking-Strahlung unter Verwendung dieses Rahmens auf eine viel strengere Weise abzuleiten, als dies von den ursprünglichen Autoren getan wurde, für weitere Details siehe Robert M. Wald: "Quantum Field Theory in Curved Spacetime und Thermodynamik von Schwarzen Löchern." (Obwohl etwas veraltet, ist dies immer noch ein guter Anfang.)

Zwei bemerkenswerte Ergebnisse, bei denen die tiefe Verbindung zwischen physikalischer Intuition und der (tiefen) mathematischen Theorie der von Neumann-Algebren sichtbar ist, betreffen die modulare Gruppe der von Neumann-Algebren mit einem trennenden und zyklischen Vektor:

• die Charakterisierung von KMS-Zuständen in der statistischen Mechanik,

• das Bisognano-Wichmann-Theorem, das den Automorphismus der modularen Gruppe mit der Darstellung der Lozentz-Gruppe verbindet. Weitere Ideen zur Verwendung der modularen Theorie finden Sie in der Arbeit "Modular theory for the von Neumann algebras of Local Quantum Physics" von Daniele Longo auf dem arXiv.

Das Bisognano-Wichmann-Theorem besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die modulare Gruppe (der von Neumann-Algebra, die mit einer Keilregion im Minkowski-Raum verbunden ist) mit den Lorentz-Boosts zusammenfällt (die den Wegde auf sich selbst abbilden), also haben wir hier eine sehr nichttriviale Verbindung eines mathematischen Objekts aus der Strukturtheorie der von Neumann-Algebren (Modulartheorie) mit einem Objekt aus der speziellen Relativitätstheorie (einer Darstellung der Lorentz-Gruppe).

[Das erneute Lesen der Antwort von @Lubos hat diese Erinnerungen in mir geweckt. Danke für die Inspiration @Lubos :)]

@student - alles, was @Lubos in dieser Antwort sagt, ist gültig. Angesichts der Tatsache, dass von Neumann-Algebren derzeit ein exotisches Tier sind, was ihre Anwendung in der Physik betrifft, kenne ich drei Fälle, in denen sie einen signifikanten direkten oder indirekten Einfluss auf die theoretische Physik hatten.

1. Das gesamte Programm der Knotentheorie und mannigfaltigen Invarianten usw. – wie in Wittens Arbeit über TQFTs (topologische Quantenfeldtheorien) dargestellt – verdankt sich zum großen Teil der Entdeckung einer Knoteninvariante durch Vaugh Jones, die (offensichtlich) als Jones-Polynom bekannt ist . Ich kenne nur die vagen Umrisse, wie er zu dieser Entdeckung geführt wurde, aber ich weiß, dass dies im Verlauf seiner Untersuchungen zu einer bestimmten Klasse (Typ III?) von von Neumann-Algebren geschah.

2. Auch Connes' nichtkommutatives Geometrieprogramm hat seine Wurzeln im Studium der von Neumannschen Algebren, wenn ich mich nicht irre. Die nicht-kommutative Geometrie wird mit einer großen Anzahl von Anwendungen erwachsen, die von Methoden zur Vereinheitlichung der Partikel des Standardmodells bis zum Verständnis des Quanten-Hall-Effekts reichen. NCG entsteht auch auf natürliche Weise in von Strings inspirierten Modellen der Kosmologie und Inflation, [Referenz]

3. Schließlich stellten Connes und Rovelli die faszinierende „thermische Zeithypothese“ vor, um zu versuchen, einige der Dilemmata in Bezug auf den Begriff der „Zeit“-Evolution und -Dynamik zu lösen, die in Theorien der Quantengravitation auftreten, wo der Hamilton-Operator eine reine Einschränkung ist – als ist im Programm "Canonical Quantum Gravity" der Fall. Ihre Konstruktion beruht auf einer bestimmten Eigenschaft der von Neumann-Algebren. Um aus ihrem Abstract zu zitieren:

   ... wir schlagen vor ... dass in einer allgemein kovarianten Quantentheorie der physikalische Zeitablauf keine universelle Eigenschaft der mechanischen Theorie ist, sondern durch den thermodynamischen Zustand des Systems bestimmt wird ("thermische Zeithypothese"). Wir implementieren diese Hypothese, indem wir eine Schlüsselstruktureigenschaft der von Neumann-Algebren verwenden: das Tomita-Takesaki-Theorem, das es erlaubt, einen Zeitfluss, nämlich eine Ein-Parameter-Gruppe von Automorphismen der beobachtbaren Algebra, aus einem generischen thermischen physikalischen Zustand abzuleiten . Wir untersuchen diesen Zeitfluss, seine klassische Grenze, und wir beziehen ihn auf verschiedene charakteristische theoretische Tatsachen, wie die Unruh-Temperatur und die Hawking-Strahlung.

Natürlich sind dies alles ziemlich spezifische und esoterisch klingende Anwendungen, so dass, wie @Lubos feststellte, vNAs in der theoretischen Physik weitaus allgegenwärtiger sind.

Ihr Eindruck, dass die von Neumann-Algebren bei den Physikern nicht im Gespräch sind, ist durchaus berechtigt. Die Operatoren auf dem Hilbert-Raum mögen vielleicht die Definition einer von Neumann-Algebra erfüllen, aber es macht die spezifischen Ergebnisse aus diesem Teil der Mathematik nicht für die Physik nützlich. Die von Neumann-Algebren sind nicht mit einem "spezifischen Stück" interessanten Wissens oder Mechanismen verbunden, die Physiker lernen müssen.

Eine Ausnahme war die algebraische oder axiomatische Quantenfeldtheorie, die gerne von der von Neumann-Algebra sprach, aber schließlich zu einer Randdisziplin der theoretischen Physik geworden ist. AQFT funktioniert nicht wirklich – es ist nicht kompatibel mit den letzten 40 Jahren grundlegender physikalischer Erkenntnisse über die Quantenfeldtheorie, wie der Renormalization Group. Daher dürfte der besondere "Fokus" der von Neumann-Algebra - im Vergleich zu jeder Algebra von Operatoren auf einem linearen Raum - für einige wichtige Erkenntnisse nicht relevant sein.

Abgesehen von der Quantenfeldtheorie wird der Begriff der von Neumann-Algebren manchmal auch von Physikern erwähnt, die statistische Physik und andere Bereiche studieren, aber ich denke, es ist richtig zu sagen, dass nur Physiker, die in der Vergangenheit eine mathematische Ausbildung absolviert haben, berücksichtigt werden können "spontan" beginnen, das Konzept der von Neumann-Algebren zu verwenden. Die Algebren sind sicherlich kein Standardthema in Bachelor- oder Masterstudiengängen für Theoretische Physiker geworden, und ich denke, dass selbst die meisten Top-Theoretischen Physiker nicht genau wissen, was Algebren sind und was nicht.

Offensichtlich würde John von Neumann, der sie einführte, denken, dass sie in diesen 80 Jahren in der Physik viel wichtiger werden würden, als sie es geworden sind. Von Neumann kann als einer der Gründerväter der Quantenmechanik gezählt werden; unter diesen Vätern war er eindeutig der mathematischste (abstrakteste) und viele seiner Hinweise wurden einfach nicht zum Standard. Das gilt auch für einige andere Konzepte, die er in die Quantenmechanik eingeführt hat, einschließlich der Quantenlogik. Trotzdem war er ein kluger Kerl.

Es scheint ein guter Zeitpunkt zu sein, dieses Thema auf den neuesten Stand zu bringen, zumindest in Bezug auf eine zunehmend aktive Entwicklung auf dem Gebiet der Physik der kondensierten Materie, da diese Diskussion Teil von sehr wenigen zum Thema Von-Neumann-Algebra ist.

Ich bestehe darauf, dass das erwähnte Thema eine aktuelle Anstrengung ist und noch nichts zu einem Abschluss gebracht wurde. Für Studenten/Forscher, die daran interessiert sind, Fragen der mathematischen Physik mithilfe der Von-Neumann-Algebra zu beantworten, ist dies jedoch sicherlich eine vielversprechende Richtung und daher bereits in diesem Stadium wichtig zu erwähnen.

Erinnern wir uns zunächst kurz daran, warum der Operator algebraisches Gerüst istder statistischen Quantenmechanik ist ein wichtiger Teil der Physik: Das Konzept der Phase und des Phasenübergangs ist nur im thermodynamischen Grenzbereich ein wohldefiniertes mathematisches Phänomen. Erinnern Sie sich beispielsweise daran, dass ein "spontaner Symmetriebruch" eines Ising-Modells immer "im thermodynamischen Limit" angenommen wird, weil die beiden Phasen "alles oben" und "alles unten" durch eine unendliche Energielücke getrennt werden müssen , so dass man sicher ist, dass kein lokaler Operator (also kein Operator, der auf endlich viele Spins wirkt) von einem Zustand in den anderen wechseln kann. In der Quantenmechanik werden diese breiteren Begriffe "Symmetriebrechung" und "Phase" oder "Sektor" jedoch sehr oft locker verwendet. Der Grund dafür ist, dass ein unendlich dimensionaler Hilbert-Raum (zum Beispiel ein unendliches 2D-Gitter von Spins) ein Objekt ist, das die Werkzeuge der algebraischen statistischen Quantenmechanik erfordert, in der Zustände nicht mehr einfach Vektoren in einem Hilbert-Raum sind. Normalerweise kann der Forscher die Verwendung dieses Rahmens vermeiden, indem er explizit eine Grenze einer Größe wie Energie findet, abhängig von der Größe des Systems, und die Größe auf "unendlich" wachsen lässt. Als solche wurden viele sehr strenge und bahnbrechende Ergebnisse gefunden.

Daran erinnert, dass die Klassifizierung von Quantenphasen der Materie, wie es heute in der gesamten Quantenphysik-Community allgemein bekannt ist, ein sehr aktives und herausforderndes Gebiet ist. Zu den Klassen von Phasen gehören nicht umkehrbare Phasen, die allgemein als topologische Ordnung bezeichnet werden, für die der mathematische Rahmen bereits als Kategorientheorie bekannt ist. Es hat in den letzten 20 Jahren große Aufmerksamkeit erregt. Wie jede Quantenphase muss eine topologisch geordnete Phase jedoch, um mathematisch gut definiert zu werden, in der thermodynamischen Grenze untersucht werden, und eine Klassifizierung dieser Phasen ist eine mathematisch komplizierte Aufgabe: Sie interagieren mit langreichweitigen verschränkten Phasen und finden einen "Index" ( eine robuste mathematische Größe, die Phasen unterscheidet) scheinen zu erfordern, direkt im thermodynamischen Limit zu arbeiten.https://arxiv.org/abs/2111.07335 für einen sehr nachvollziehbaren Fall von SPT. Kürzlich wurde vorgebracht (aber tatsächlich von einer kleinen Gemeinschaft von Forschern von Anfang an angenommen), dass die Klassifizierung der topologischen Ordnung auch im Operator-Algebraic-Framework erfolgreich sein sollte, wo die Super-Selection-Sektoren , wie hier definiert http:/ /nlab-pages.s3.us-east-2.amazonaws.com/nlab/show/DHR+superselection+theory , sollen das wesentliche Objekt sein und rigoros das Auftreten von geflochtenen Tensorkategorien zeigen. Bei dieser aktiven Forschungsarbeit spielt die Von-Neumann-Algebra eine wichtige Rolle: https://arxiv.org/abs/1608.02618 . In dieselbe Richtung geht die topologische Verschränkungsentropiewird dank des Jones-Index als streng definiert angesehen: https://arxiv.org/abs/2106.15741 . Es ist nicht so überraschend, dass die Arbeit von V. Jones hier erscheint, da die topologische Ordnung und die topologische Verschränkungsentropie an dieser Stelle nur aus Argumenten der topologischen Quantenfeldtheorie abgeleitet werden, in denen die Arbeit von Jones über Knoten im Mittelpunkt steht.