Mandelstam-Variablen 1 positiv 2 negativ

Die drei Mandelstam-Variablen sind definiert als:

Die Mandelstam-Variable$s$gibt die Schwerpunktsenergie an und ist damit immer positiv, jetzt für die Mandelstam-Variablen$t$Und$u$Die Anforderungen können durch Betrachten im Laborrahmen gefunden werden, nach einer einfachen Berechnung kann gezeigt werden, dass:

Das bedeutet, dass es eine Situation geben sollte, in der die drei Mandelstam-Variablen positiv sind. Ich habe mich gefragt, ob eine solche Situation existiert oder dass ich einfach einige Fakten übersehe und dass tatsächlich nur EINE Mandelstam-Variable positiv sein kann?

Um die Berechnung, die mich zu dieser Schlussfolgerung geführt hat, näher auszuführen, habe ich diese Variablen in dem Rahmen berechnet, in dem Partikel A ruht (seit$s$,$t$Und$u$unveränderlich sind, kann ich das tun). Damit ergibt sich für die Impulse:

$$p_A=(m_A,0),$$ $$p_B=(E_B,\vec{p}_B),$$ $$p_C=(E_C,\vec{p}_C),$$ $$p_D=(E_D,\vec{p}_D).$$ Also für meine Mandelstam-Variablen würde ich das bekommen: $$s=(p_A+p_B)^2=p_A^2+p_B^2+2p_A\cdot p_B = m_A^2+m_B^2+2m_AE_B,$$ $$t=(p_A-p_C)^2=p_A^2+p_C^2-2p_A\cdot p_C = m_A^2+m_C^2-2m_AE_C,$$ $$t=(p_A-p_D)^2=p_A^2+p_D^2-2p_A\cdot p_D = m_A^2+m_D^2-2m_AE_D,$$ wobei ich die erste Gleichheit in der Definition der Mandelstam-Variablen verwendet habe. Ich könnte die gleiche Rechnung mit der zweiten Gleichheit machen, wenn ich dann die Terme der Form verwerfen würde $2m_AE$Ich würde die Ungleichungen oben erhalten.

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Bearbeiten: Ich weiß, dass die zweite Gleichheit keine einfachen Begriffe liefert$2mE$, aber Bedingungen der Form

$$E_CE_D-\vec{p_C}\cdot\vec{p_D}=E_CE_D-|\vec{p_C}||\vec{p_D}|\cos(\theta),$$ und da $E^2=m^2+|\vec{p}|^2$wir haben das $E>|\vec{p}|$, also sind diese Terme positiv.

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Bearbeiten 2: Ich habe diese für die nicht elastischen Prozesse berechnet$e^-e^+\rightarrow\mu^-\mu^+$(da unelastische Probleme die Ursache des Problems sind) und ich fand Folgendes:

$$s=2m(m+E_B),$$ $$t=m^2+M^2-2mE_C,$$ $$u=m^2+M^2-2mE_D,$$ Wo $m$ist die Masse des Elektrons und $M$ist die Masse des Myons, Teilchens $A$(entweder ein Elektron oder Positron) steht still und für Teilchen $B$(Elektron oder Positron) und $C$Und $D$(die 2 Myonenteilchen) die Energien sind $E_B$, $E_C$Und $E_D$. Die Variable $s$ist offensichtlich positiv, um zu überprüfen, ob $t$von $u$positiv sind, habe ich sie zusammengefasst und die Energieerhaltung verwendet: $m+E_B=E_C+E_D$, was ergibt: $$t+u=2(m^2+M^2)-2m(m+E_B)=2(m^2+M^2)-s,$$ Um jetzt 2 Myonen erzeugen zu können, sollte die Energie also hoch genug sein $s=(2M)^2$, füllen Sie dies in ergibt: $$t+u=2(m^2-M^2).$$ Das bringt mich zurück zu der Frage: „Sollte nur eine der drei Variablen positiv sein (so wie die meisten Bücher behaupten) oder gibt es Sonderfälle?“ In meiner obigen Herleitung habe ich die Erhaltungssätze verwendet, aber wie Sie in diesem Beispiel sehen können, besteht die Möglichkeit $t$Und $u$positiv sein (für klein genug $E_B$) verschwindet, indem gefordert wird, dass de Schwerpunktsenergie ist $\sqrt{s}$groß genug ist, wird dies immer der Fall sein?