Woher kommt die elektrische Kraft, wenn ein Elektron keinen bestimmten Ort hat?

Beachten Sie, dass das von Ihnen gestellte Problem unrealistisch ist. Befindet sich B zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem Ortseigenzustand,$\delta (\vec r)$, zu einer extrem kurzen Zeit nach , kann B mit gleicher Wahrscheinlichkeit überall im Universum sein. Sie werden die Auswirkung davon unten sehen.

Aber berechnen wir zuerst die Kraft$<\vec F>$. Im QM geht der Einfluss zwischen A und B wie folgt: let$\psi_A(\vec r)$sei die Wellenfunktion des Elektrons A, wobei der Vektor$\vec r$verbindet A, wo auch immer A ist, mit B.

Dann ist die Wechselwirkungskraft

$\vec F(\vec r) = -\frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |r|^2}$.

Die durchschnittliche Kraft zwischen den beiden Elektronen ist

$<\vec F> = \int d\vec r \int d\vec r' \psi_A^* (\vec r)\delta (\vec r') \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3} \psi_A (\vec r) \delta (\vec r')$.

$=\int d\vec r d\vec r' \delta (0) |\psi_A (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2} = \delta (0)\int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2}$

Wir haben also ein Problem, weil die Funktion$\delta (\vec r')$hat unendliche Norm. Auf der anderen Seite, wenn$\psi_A$kugelsymmetrisch ist, bekommt man$<\vec F> = 0$. Für den Fall, dass$\psi_A$nicht kugelsymmetrisch ist, müssen wir die Wellenfunktion von B durch eine andere Funktion ersetzen, nennen wir sie$\psi_B (r')$, stark um den Punkt lokalisiert$\vec r' = 0$, aber normalisiert. In diesem Fall

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}$,

und da$\psi_B (r')$ist stark lokalisiert$\vec r' = 0$wir können uns annähern,

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3} = \int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3}$.

Jetzt kehre ich zum nächsten Moment nach der Lokalisierung zurück. Die Funktion$\psi_B (\vec r')$wird überall praktisch null sein. Also, in der vorletzten Gleichung werden wir erhalten$<\vec F> = 0$.

Wenn sich Ihr geladenes Teilchen nicht in einem Positionseigenzustand befindet, können Sie die Position immer als Überlagerung von Positionseigenzuständen schreiben. Sie hätten also eine Quantenüberlagerung von Kräften auf ein Testteilchen (gewichtet mit den Wahrscheinlichkeitsamplituden).

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie haben ein negatives Teilchen, das ursprünglich die Wellenfunktion hat

Wenn wir dies grafisch darstellen, könnten die Wellenfunktionen wie im Bild unten aussehen.

Wenn Sie versuchen würden, die Position (von einem oder beiden Partikeln) zu messen, würden Sie einen Wellenfunktionskollaps erhalten und Partikel würden sich entweder rechts oder links befinden (mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% für jeden Fall).