Interpretation der Komponenten des Viererimpulses in QFT

Question

Interpretation der Komponenten des Viererimpulses in QFT

Benutzer72829

In der relativistischen QFT verwendet man normalerweise Vier-Impuls-Vektoren $P^\mu$ die Energie eines Systems mit seinem Impuls kombiniert. Ich bin verwirrt über die physikalische Interpretation der einzelnen Komponenten $P^\mu$ .

Nehmen wir an, die Signatur der Metrik lautet $(1,-1,-1,-1)$ . Die nullte Komponente $P^0=P_0$ hat eindeutig die Interpretation der Energie des Systems. Aber was ist der räumliche Impuls des Systems in der Richtung von $x$ Achse? Ist es $P^1$ oder $P_1$ ?

Ich denke, dass die meisten Leute überlegen $P^1$ als die $x$ Bestandteil des räumlichen Impulses. Es scheint jedoch, dass die Raum-Zeit-Übersetzungen in QM und QFT unterschiedlich implementiert sind. In QM der Zustand $\psi$ des Systems zeitlich verschoben um $t$ und im Raum durch $(x,y,z)$ wird von gegeben

\exp (- \frac{ich}{ℏ} T P^{0} - \frac{ich}{ℏ} (X P_{X} + j P_{j} + z P_{z})) ψ,

$\exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 -\frac{i}{\hbar} ~(x P_x+y P_y + z P_z)\right) \psi,$

Wo $P^0\equiv H$ ist der Hamiltonian des Systems und $P_x$ , $P_y$ , $P_z$ sind die physikalischen Komponenten des räumlichen Impulses. Andererseits in QFT der Zustand $\psi$ des in der Raumzeit um einen Vierervektor verschobenen Systems $x=(t,x,y,z)$ wird von gegeben

\exp (- \frac{ich}{ℏ} P \cdot X) ψ = \exp (- \frac{ich}{ℏ} T P^{0} + \frac{ich}{ℏ} (X P^{1} + j P^{2} + z P^{3})) ψ,

$\exp\left(-\frac{i}{\hbar} P\cdot x\right) \psi= \exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 +\frac{i}{\hbar} ~(x P^1+y P^2 + z P^3)\right) \psi,$

was der vorherigen Formel if entspricht $P_1$ ist der räumliche Impuls des Systems in Richtung von $x$ Achse ( $P_1 = P_x$ nicht $P^1=P_x$ ).

ACuriousMind

Was hat das überhaupt mit QFT oder Quantenmechanik zu tun? Sie scheinen einfach zu fragen, ob es der räumliche Teil von ist

p^{μ}

$p^\mu$ Oder von

p_{μ}

$p_\mu$ das entspricht dem üblichen nicht-relativistischen räumlichen Impuls, der eine reine Frage der speziellen Relativitätstheorie ist.

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Was hat das überhaupt mit QFT oder Quantenmechanik zu tun? Sie scheinen einfach zu fragen, ob es der räumliche Teil von ist $p^\mu$ Oder von $p_\mu$ das entspricht dem üblichen nicht-relativistischen räumlichen Impuls, der eine reine Frage der speziellen Relativitätstheorie ist.

Blazej · Answer 1

Im Allgemeinen haben Sie in der speziellen Relativitätstheorie $P^{\mu}=(E,\vec p)^{\mu}$ Und $P_{\mu}=(E,-\vec p)$ Wenn $+---$ Signatur der Metrik gewählt wird oder $P_{\mu}=(-E,\vec p)_{\mu}$ ansonsten. Ich bleibe in diesem Beitrag bei der ersten Wahl. In nichtrelativistisch $QM$ Sie haben Operatoren $H=i \partial _t$ Und $\vec p= -i \vec \nabla$ . Erinnern Sie sich jetzt (oder überprüfen Sie), dass sich der Ableitungsoperator natürlich als Covektor transformiert, dh als hätte er einen niedrigeren Index. Also haben wir $\partial_{\mu}=(\partial_t, \vec \nabla)_{\mu}$ Und $\partial ^{\mu} = (\partial_t, - \vec \nabla)^{\mu}$ . Daher können Sie eine Identifizierung vornehmen $P^{\mu}=i \partial ^{\mu}$ . Wenn Sie nun auf eine Wellenfunktion einwirken, erhalten Sie

e^{- ich P^{μ} A_{μ}} ψ (T, \vec{X}) = e^{A^{0} \partial_{T} + \vec{A} \cdot \vec{\nabla}} ψ (T, \vec{X}) = ψ (T + A^{0}, \vec{X} + \vec{A}) .

$e^{-iP^{\mu}a_{\mu}} \psi (t ,\vec x) = e^{a^0 \partial_t + \vec a \cdot \vec \nabla} \psi (t, \vec x) = \psi (t+a^0, \vec x + \vec a).$ Daher halte ich diese Notation für recht konsequent. Beachten Sie auch, dass ganz allgemein (z. B. auch im Elektromagnetismus und in der Optik) die räumliche Abhängigkeit einer sich ausbreitenden ebenen Welle im

z

$z$ -Richtung ist

e^{- i ω t + i k z}

$e^{-i \omega t + i k z}$ . Es muss einen relativen Vorzeichenunterschied zwischen diesen beiden Termen im Exponenten geben, da sich nur dann Oberflächen mit konstanter Phase positiv (und nicht negativ) bewegen.

z

$z$ Richtung.

Nun kann etwas Verwirrung entstehen aufgrund der Tatsache, dass Raumkoordinaten in QM und QFT ziemlich unterschiedliche Rollen spielen. Im QM gibt es $\vec x$ Operator und Wellenfunktionen können in ihrer Eigenbasis mit Entwicklungskoeffizienten entwickelt werden, die von Wellenfunktionen abhängig sind $\vec x$ . Andererseits $t$ ist nur ein Parameter, der Ket-Zustände zu verschiedenen Zeiten kennzeichnet. In QFT gibt es keine $\vec x$ Betreiber sowie Nr $t$ Operator.

Beachten Sie, dass die Funktion $\psi(\vec{x})$ vorbei verschoben $\vec{a}$ sollte sein $\psi(\vec{x}-\vec{a})$ , nicht $\psi(\vec{x}+\vec{a})$ . Aus diesem Grund ist die Standard-Lehrbuchdefinition des Übersetzungsoperators im QM $U(\vec{a}) = \exp( - i/\hbar~ \vec{a}\cdot\vec{P})$ .
@ user72829 Du hast Recht. Aber dann Übersetzung in der Zeit wäre $e^{itH}$ statt $e^{-itH}$ . In QFT gibt es überhaupt keine zeitliche Entwicklung, da der Zustandsvektor die gesamte Geschichte des Systems codiert. Stattdessen können Sie in dieser Geschichte eine Übersetzung vornehmen, die durch einen einheitlichen Operator implementiert wird $e^{iP \cdot a}$ . Konfrontieren Sie Weinbergs QFT-Lehrbuch, Band 1, Kapitel 3, Abschnitt 1.

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Benutzer72829

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Blazej

Benutzer72829

Blazej

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