Warum die Lorentz-Gruppe für Felder und die Poincaré-Gruppe für Teilchen?

Die Wigner-Behandlung verbindet mit Partikeln die Irreps der universellen Hülle der Poincaré-Gruppe

R ( 1 , 3 ) ⋊ S L ( 2 , C ) .

  1. Warum betrachten wir nicht endlichdimensionale Darstellungen dieser Gruppe?

Ich verstehe, dass wir Einheitlichkeit verlangen, wenn wir seine Wirkung auf Zustände darstellen, also kann die Darstellung nicht endlichdimensional sein. Wir betrachten jedoch endlichdimensionale Darstellungen der Lorentz-Gruppe Ö ( 1 , 3 ) und sie Feldern zuordnen.

  1. Warum die Lorentz-Gruppe Feldern zuordnen?

  2. Warum suchen wir in diesem Fall nach endlichdimensionalen Darstellungen?

  3. Was verbinden wir mit einheitlichen Darstellungen der Lorentz-Gruppe?

Über "Felder" denke ich, gibt es einen Unterschied zwischen Φ a und Φ a ( x ) . Ersteres könnte in einer endlichdimensionalen Darstellung vorliegen R der Lorentz-Gruppe, Λ ( Φ a ) = ( Λ R ) a b Φ b , während ich nicht sehe, wie letzteres in einer endlichdimensionalen Darstellung sein könnte: Da die Lorentz-Transformation auch auf Koordinaten wirkt, muss dieser Teil durch einen Differentialoperator dargestellt werden D Λ : Λ ( Φ a ( x ) ) = ( Λ R ) a b Φ b ( Λ − 1 x ) = ( Λ R ) a b D Λ ( Φ b ( x ) ) .
Zum Beispiel haben wir in einer einheitlichen Darstellung D Λ = e − ich ω μ v L μ v , mit L μ v = − ich ( x μ ∂ v − x v ∂ μ ) . Der Raum der Funktionen (oder Operatoren in QFT) Φ b ( x ) , auf der die Lorentz-Transformation - und damit der Differentialoperator D Λ - handelt, erscheint nicht als endlichdimensional.
ich vermute ( n , m ) ist genau die Art von mathematischem Objekt, das wir betrachten. Indem Φ a ( x ) Wir "verbinden" zwei mathematische Objekte mit dem von Ihnen angegebenen Transformationsgesetz. Irgendwann habe ich gelesen, dass Feldgleichungen eine Konsistenzbedingung zwischen einheitlichen Irreps für die Poincaré-Gruppe und Objekten sind, die aus endlichdimensionalen Irreps entstehen, aber ich kann mich nicht erinnern, wo, und ich kann auch keine zugängliche Referenz zu diesem Thema finden.

Antworten (1)

1) Warum betrachten wir keine endlichdimensionalen Darstellungen dieser Gruppe?

Wie Sie sagten, fragen wir nach (Anti-)Unitarität, daher ist es unmöglich, eine endlichdimensionale Darstellung zu finden.

2) Warum die Lorentz-Gruppe Feldern zuordnen?

Die Essenz der Antwort ist das, was Trimok bereits in seinem Kommentar gesagt hat: Der "translationale Teil" der Poincarè-Gruppe wird bereits durch das Argument des Feldes repräsentiert. Das heißt, für ein allgemeines Mehrkomponentenfeld postulieren Sie das Transformationsgesetz für jedes Element ( a , Λ ) der Poincarè-Gruppe, gegeben durch

ψ ' ( x ' ) = S ( Λ ) ψ ( x )

wo x ' = Λ x + a .

Es scheint eine natürliche Forderung nach der Transformationsregel eines Feldes zu sein, denken Sie an den nicht-relativistischen Fall des Schrödinger-Feldes: Sie erwarten, dass der Operator, der ein Teilchen an Position x mit Spin m = 1 erzeugt, als der Operator angesehen wird, der ein Teilchen in erzeugt Position x+a mit Spin m=1 von einem Beobachter in Bezug auf Sie übersetzt. Spin oder irgendein "innerer" Teil des Feldes sollte nicht von Übersetzungen betroffen sein.

Ich weiß nicht, ob es eine tiefere oder strengere Erklärung dafür gibt.

Sie sehen also, dass Felder durch unterschieden werden S ( Λ ) , daher ist für diesen Zweck nur die Lorentz-Gruppe relevant.

Beachten Sie, dass keine allgemeine Anfrage gestellt wird S ( Λ ) , ein Teil, um eine Repräsentation zu sein (ich erinnere mich jedoch nicht, ob es eine projektive Repräsentation sein darf) der Lorentz-Gruppe. Im Fall des Dirac-Feldes, um die explizite Form von festzulegen S ( Λ ) , wird eine weitere Anfrage gestellt, das heißt, sie lässt die Form der Dirac-Gleichung unverändert. Am Ende stellt sich heraus, dass es nicht unbedingt einheitlich sein muss.

Danke Giulio! In der Tat kommt alles von dem Transformationsgesetz, das Sie angegeben haben (obwohl es scheint, dass Trimok die Transformation auf Koordinaten in Bezug auf Sie umkehrt?), Das auf Intuition basiert. Gibt es einen "grundlegenderen" Grund dafür, Wiederholungen der Lorentz-Gruppe auf den Feldtyp zu setzen (etwas, das aus der Gruppentheorie selbst stammen würde)? Ich habe in Weinberg auf S.90 gelesen, dass man Superselektionsregeln nicht immer aus Symmetriegruppen ableiten kann. Ich habe das Gefühl, dass viele Dinge über den Feldtyp und seine Transformationen eher intuitiv/experimentell als abgeleitet sind.
In Bezug auf endlichdimensionale Repräsentationen von Poincaré: Ich habe das Argument dafür angeführt, warum wir unitäre (unendlich dimensionale) betrachten, aber warum betrachten wir nicht endlich dim? Sind sie nicht interessant für Physik? Was spricht für diesen Ausschluss? Seltsame Partikeleigenschaften? Was ist mit unendlich dunklen Wiederholungen der Lorentz-Gruppe? Zweitens verstehe ich, warum die Intuition (wie in der von Ihnen angegebenen Gleichung codiert) nach finite-dim-Wiederholungen der Lorentz-Gruppe fragt, aber ich kann dies nicht damit verbinden, dass wir nach einheitlichen Wiederholungen von Poincaré suchen (dort fixieren wir P und damit m und dann schau dir die Irreps der kleinen Gruppe an, kein Zeug über Lorentz)
"In Bezug auf endlichdimensionale Repräsentationen von Poincaré: Ich habe das Argument dafür angeführt, warum wir unitäre (unendlich dimensionale) betrachten, aber warum betrachten wir nicht endlich dim?" Endlichdimensionale von Poincarè können nicht einheitlich sein, daher sind sie für die Charakterisierung von Teilchen nicht aussagekräftig. Diese Tatsache wird durch den Satz von Wigner angegeben. ( en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_theorem )
Ja, meine Frage ist nicht klar genug. Ich denke, was ich zu sagen versuche, ist, dass wir an einheitlichen Wiederholungen von Poincaré interessiert sind, aber bei ihrer Konstruktion sprechen wir zu keinem Zeitpunkt über endliche Wiederholungen von Lorentz (fix P und dann kleine Gruppe), also versuche ich zu sehen wenn es neben dem Argument, das auf der von Ihnen angegebenen Gleichung basiert, einen Grund gibt, nach endlichen dunklen Wiederholungen von Lorentz zu suchen, wenn Sie nach einheitlichen Wiederholungen von Poincaré suchen.
Mmm, vielleicht ist ein weiterer Grund, dass die Poincarè-Darstellung, die auf einen Einzelpartikel-Hilbert-Raum wirkt, normalerweise die Form hat U ( a , Λ ) = e x p [ ich P a ] ∗ . . . . Denken Sie daran, wie die Galilei-Gruppe in der nicht-relativistischen Quantenmechanik dargestellt wird, zum Beispiel für Teilchen mit Spin 1/2. Vielleicht wird also der "translationale" Teil wieder trivial für alle Partikel auf die gleiche Weise dargestellt.
Das dachte ich zuerst, aber dann sollten wir nach einheitlichen Wiederholungen von Lorentz suchen, nicht endlichdimensional ... es sei denn, ich habe Ihren Kommentar falsch verstanden.
Eine kurze andere Frage: Entsprechen Pseudovektoren (Pseudotensoren) einem Spezifischen ( n , m ) Vertreter der Lorentz-Gruppe?
Warum die Lorentz-Gruppe für Felder und die Poincaré-Gruppe für Teilchen?
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