In der QFT erhalten wir eine Darstellung der Lorentz-Gruppe, indem wir eine Menge von unitären Operatoren definieren, deren Wirkung auf (spinlose) freie Teilchenzustände gegeben ist durch
Körperlich, wenn zwei Beobachter Und durch eine Lorentz-Transformation zusammenhängen und ein freies Teilchen erscheint dem Beobachter im Staat sein , dann wird es dem Beobachter erscheinen im Staat sein . Diese Transformationseigenschaft erstreckt sich auf beliebige Elemente des Hilbert-Raums, sogar auf Elemente, die keine Impuls-Eigenzustände einzelner Teilchen sind: if sieht einen Zustand Dann sieht einen Zustand .
Meine Frage ist folgende: Befinden sich beide Beobachter in einem stark wechselwirkenden Bereich (also einem Raumbereich, in dem sich Teilchen nicht wie freie Teilchen verhalten) und Beobachter sieht einen Zustand , was bedeutet Observer sehen? Brauchen wir jetzt eine neue Vertretung der Lorentz-Gruppe, um diese Frage zu beantworten? Wenn ja, wie kann eine solche Darstellung erhalten werden, wenn ich den Hamiltonoperator für die vollständige Wechselwirkungstheorie kenne?
Ich vermute, dass wir eine neue Vertretung brauchen. Ich begründe dies auf der Tatsache, dass, wenn wir die vollständige Poincare-Gruppe betrachten, es klar ist, dass die freie Teilchendarstellung uns nicht die korrekte Transformation zwischen Beobachtern liefert, da sie nicht die korrekte Zeitübersetzung liefert.
Ja, Sie bräuchten eine neue Vertretung. Der Grund dafür ist, dass die Lorentz-Gruppe mit der Gruppe der Übersetzungen verbunden ist, und wie Sie darauf hinweisen, ist die Zeitübersetzung anders. Wenn ist der Generator von Boosts in der Richtung u der Generator von Raumtranslationen (dh des linearen Impulses)
Aber selbst in der Wechselwirkungstheorie, wenn Sie ein einzelnes stabiles Teilchen haben, wird es sich schön wie ein freies Teilchen unter der Wechselwirkungsdarstellung der Poincare-Gruppe umwandeln. Der Haken ist, dass sich die stabilen Teilchen möglicherweise von der freien Theorie unterscheiden, mit der Sie begonnen haben. Wenn Sie zum Beispiel nur ein einziges Elektron im Universum haben, wird sich dieser Zustand wie ein Teilchen verändern. Aber auch ein einzelnes Wasserstoffatom in seinem Grundzustand (in einer Theorie, in der es stabil ist) sieht genauso aus wie ein einzelnes Teilchen, was Darstellungen der Poincare-Gruppe betrifft.
Weinbergs QFT-Lehrbuch (Band I) enthält eine gute Diskussion dieser beiden Punkte. Kapitel 2 geht auf die Darstellungen der Poincare-Gruppe ein, und Teile von Kapitel 3 behandeln das Problem der interagierenden Boost-Generatoren.