„Warum“ ist die Schrödinger-Gleichung nicht-relativistisch?

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik (NRQM) wird die Dynamik eines Teilchens durch die Zeitentwicklung seiner zugehörigen Wellenfunktion beschrieben $\psi(t, \vec{x})$bezüglich der nicht-relativistischen Schrödinger-Gleichung (SE)

Die zentrale Erkenntnis, die der Formulierung der Quantenfeldtheorie zugrunde liegt, ist jedoch, dass dies nicht ausreicht. Vielmehr erfordert die Kombination der Prinzipien der Lorentz-Invarianz und der Quantentheorie die Abkehr vom Ein-Teilchen- Ansatz der Quantenmechanik.

• In jeder relativistischen Quantentheorie muss die Teilchenzahl nicht erhalten bleiben, da die relativistische Dispersionsrelation$E^{2}=c^{2} \vec{p}^{2}+m^{2} c^{4}$impliziert, dass Energie in Teilchen umgewandelt werden kann und umgekehrt. Dies erfordert ein Multi-Partikel-Gerüst .
• Dieser Punkt wird in Büchern oder Vorträgen oft etwas versteckt. Unitarität und Kausalität können nicht in einem Einzelteilchenansatz kombiniert werden: In der Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Ausbreitung eines Teilchens von einer Position$\vec{x}$Zu$\vec{y}$Ist $$G(\vec{x}, \vec{y})=\left\langle\vec{y}\left|e^{-\frac{i}{\hbar} H t}\right| \vec{x}\right\rangle$$ Das kann man zB für den freien nichtrelativistischen Hamiltonoperator zeigen$H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}$dies ist ungleich Null, selbst wenn$x^{\mu}=\left(x^{0}, \vec{x}\right)$Und$y^{\mu}=\left(y^{0}, \vec{y}\right)$sind in raumähnlichem Abstand. Das Problem bleibt bestehen, wenn wir tauschen$H$durch einen relativistischen Ausdruck im SE.

Die Quantenfeldtheorie (QFT) löst diese beiden Probleme durch einen radikalen Perspektivwechsel.

Anmerkung 1 : Es gibt immer noch einige Fälle (allerdings gibt es viele Feinheiten), wo man RQM im Single-Particle-Ansatz verwenden kann. Dann wird die SE durch die zB Klein-Gordon-Gleichung ersetzt.

Bemerkung 2 : Für SR gilt die Schrödinger-Gleichung. Es ist nicht das SE, das versagt, es ist der nicht-relativistische Hamiltonoperator, der versagt. Die Dirac-Gleichung ist die SE, aber mit dem Dirac-Hamilton-Operator. Die Schrödinger-Gleichung gilt.

Um relativistische Quantenmechanik zu betreiben, muss man die Einzelteilchen-Quantenmechanik aufgeben und sich der Quantenfeldtheorie zuwenden.

Die Schrödinger-Gleichung ist ein wesentlicher Bestandteil der Quantenfeldtheorie. Es behauptet

In korrekter Terminologie ist die Schrödinger-Gleichung hier kovariant, aber nicht offensichtlich kovariant. Das heißt, es würde in einem anderen Trägheitsbezugssystem dieselbe Form annehmen, aber dies wird in der Art und Weise, wie die Gleichung niedergeschrieben wurde, nicht offensichtlich.

Aber wir haben hier ein ganz anderes „Biest“ als die Schrödinger-Gleichung, die Ihnen begegnet, wenn Sie sich zum ersten Mal mit Quantenmechanik befassen. Das würde man jetzt Einteilchen-Quantenmechanik nennen.$That$Die Schrödinger-Gleichung ist sicherlich nicht kovariant, und auch nicht die gesamte Struktur der Theorie der Einteilchen-Quantenmechanik.

Der Grund für die Verwirrung mag hier mit der Wissenschaftsgeschichte zu tun haben. Teilchenphysiker begannen mit der Klein-Gordon (KG)-Gleichung in der Illusion zu arbeiten, dass sie eine Art relativistischer Ersatz für die Schrödinger-Gleichung sei, und dann wurde die Dirac-Gleichung auch so betrachtet. Diese Denkweise kann einem helfen, einige grundlegende Berechnungen zum Beispiel für das Wasserstoffatom durchzuführen, aber letztendlich muss man darauf verzichten. Für klares Denken muss man lernen, Felder zu quantisieren, und dann lernt man, dass zum Beispiel für Spin Null sowohl die Klein-Gordon- als auch die Schrödinger-Gleichung eine Rolle spielen. Verschiedene Rollen. Keiner ersetzt den anderen. Man behauptet, mit was für einem Feld man es zu tun hat; der andere behauptet die Dynamik der Feldamplitude.$^1$

Ich habe dies jedoch noch nie klar und deutlich im einleitenden Teil eines Lehrbuchs niedergeschrieben gesehen. Hat noch jemand? Es würde mich interessieren zu wissen.

Nachtrag zu de Broglie-Wellen

de Broglie hat seine Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaften sehr stark im Hinblick auf die spezielle Relativitätstheorie vorgeschlagen, also ist seine Beziehung relativistisch (der Hintergrund ist das$(E, {\bf p})$bildet einen 4-Vektor und tut dies auch$(\omega, {\bf k})$.) Schrödinger und andere erkannten bei ihrer Arbeit, die De-Broglie-Wellen-Idee in allgemeineren Kontexten in den Griff zu bekommen, dass eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit benötigt wurde. So wie ich es verstehe, entstand die Schrödinger-Gleichung aus einer bewussten Strategie, die Grenze niedriger Geschwindigkeit zu betrachten. Aus dieser Sicht scheint es also ein bemerkenswerter Zufall zu sein, dass dieselbe Gleichung dann in einer vollständig relativistischen Theorie wieder auftaucht. Aber vielleicht sollten wir nicht so überrascht sein. Schließlich gilt das zweite Newtonsche Gesetz${\bf f} = d{\bf p}/dt$bleibt in der relativistischen klassischen Dynamik genau richtig.

$^1$Beispielsweise ergibt die KG-Gleichung für das freie KG-Feld die Dispersionsrelation für ebene Wellenlösungen. Die Schrödinger-Gleichung sagt Ihnen dann die Dynamik der Feldamplitude für jede solche ebene Wellenlösung, die sich wie ein harmonischer Quantenoszillator verhält.

Ein Versuch, die historische Entwicklung der Entdeckung der nicht-relativistischen Wellenmechanik durch E. Schrödinger im Zusammenhang mit der folgenden Abfrage von OP zu teilen.

"Also sollte die Schrödinger-Gleichung die Relativität beinhalten, oder? Aber das tut sie nicht ... Wie verschwindet die Relativität aus der Schrödinger-Gleichung oder hat sie jemals die Relativität in keiner Weise "eingeschlossen"?

Ausgangspunkt dieser Wellengleichungsreise waren die Vorlesungen von Hermann Weyl an der ETH Zürich 1917. Ihre Kernidee war die später als Eichtransformation bekannte . Schrödinger hatte die zusammengestellten Notizen 1921 sehr hingebungsvoll studiert ( Beeinflussung des Denkens ) und den Leitgedanken oft in seinen späteren Arbeiten verwendet.

Er wendete die Maßtheorie von Weyl (metrische Räume) auf die Bahnen der Elektronen in den Atommodellen von Bohr-Sommerfeld an. Er betrachtete den Weg eines Elektrons in einer einzigen vollständigen Umlaufbahn und erzwang die Weyl-Bedingung des geodätischen Wegs, wodurch er die Existenz der quantisierten Umlaufbahnen implizierte. Später erkannte er, dass diese Arbeit bereits die Ideen von de Broglie über die Bohr-Bahn in Bezug auf die Elektronenwellen enthielt.

Im Jahr 1922 litt Erwin Schrödinger unter den Qualen einer Atemwegserkrankung und war zur Genesung in den Alpenkurort Arosa gezogen. Er hatte vage Vorstellungen über die Auswirkungen seiner Formulierung auf die Eigenschaften der Elektronenbahnen. Es ist durchaus möglich, dass ihm bei besserer Gesundheit die Welleneigenschaften des Elektrons schon vor de Broglie aus seiner eigenen Arbeit klar gewesen wären.

Tatsächlich hatte Einstein die Arbeit von de Broglie zitiert, um eine Verbindung zwischen der Quantenstatistik und den Welleneigenschaften der Materie herzustellen, und dies war Schrödinger bekannt, der die meisten seiner Arbeiten las ( Einfluss auf das Denken ) . Schrödinger hatte später gesagt, dass "die Wellenmechanik in der Statistik geboren wurde" und sich auf seine Arbeit in der statistischen Mechanik idealer Gase bezog. Er sagte, dass sein Ansatz nichts anderes sei, als die de Broglie-Einstein-Wellentheorie eines sich bewegenden Teilchens ernst zu nehmen, wonach die Teilchennatur nur wie ein Anhängsel der grundlegenden Wellennatur ist.

Um darüber nachzudenken, welche Art von Wellen geschlossene Obrits und die zugehörigen Gleichungen erfüllen würden, dachte er bereits in relativistischen Begriffen (Energie-Impuls-Beziehungen) und war daher natürlich, dass sein Versuch, die Wellengleichung zu formulieren, auf der Grundlage der Relativistik ruhen würde Gleichungen. Seine erste Ableitung der Wellengleichung für Teilchen vor seiner berühmten Quantisierung als Eigenwertproblem (1926) blieb unveröffentlicht und basierte vollständig auf der relativistischen Theorie, wie sie von de Broglie gegeben wurde .

Der entscheidende Test jeder Theorie war damals das Wasserstoffatom. Für jede neue Theorie war es erforderlich, zumindest einige Merkmale von Bohrs Arbeit über die Energieniveaus von H -Atomen und die Quantenzahlen zu reproduzieren. Außerdem muss eine relativistische Theorie in der Lage sein, die Feinstruktur zu erklären, die die Sommerfeld-Gleichung liefert. Seine relativistische Theorie stimmte nicht mit den Experimenten überein, weil ihr eine Schlüsselkomponente fehlte – der Elektronenspin.

Das Originalmanuskript seiner relativistischen Wellenmechanikformulierung ist bestenfalls verloren und nur ein Notizbuch mit Berechnungen ist im Archiv verfügbar. Seine nicht-relativistische Formulierung ging jedoch tatsächlich in den Druck und ist zu einem Standard-Lehrbuchmaterial für den Quantenmechanik-Grundkurs geworden.

Verweise:

1. A Life of Erwin Schrödinger (Canto-Originalserie) von Walter J. Moore.

2. Die historische Entwicklung der Quantentheorie von Jagdish Mehra, Erwin Schrödinger, Helmut Rechenberg.

Zunächst einmal ist die Terminologie chaotisch. Die ursprüngliche Schrödinger-Gleichung ist nichtrelativistisch, die Leute nennen jedoch oft "Schrödinger-Gleichung", was immer sie wollen, egal welchen Hamilton-Operator sie verwenden, also kann "in ihrem Buch" die Schrödinger-Gleichung relativistisch sein.

Schrödinger baute also eindeutig auf de Broglies relativistischen Ideen auf, warum schrieb er eine nichtrelativistische Gleichung? Eigentlich ging er von einer relativistischen Gleichung aus (die wir heute Klein-Gordon-Gleichung nennen), die jedoch die Wasserstoffspektren nicht richtig beschrieb (weil sie den Spin nicht berücksichtigte), sodass Schrödinger es nicht wagte, sie zu veröffentlichen. Später stellte Schrödinger fest, dass die nichtrelativistische Version (die wir heute als (ursprüngliche) Schrödinger-Gleichung kennen) die Wasserstoffspektren korrekt beschreibt (bis auf relativistische Korrekturen :-) ), also veröffentlichte er seine nichtrelativistische Gleichung.

Wenn Sie interessiert sind, werde ich versuchen, nach den Hinweisen auf die oben genannten historischen Fakten zu suchen.

BEARBEITEN (21.06.2020): Tatsächlich habe ich die Referenz gefunden: Dirac, Recollections of an Exciting Era // History of Twentieth Century Physics: Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi". Kurs LVII. - New York; London: Academic Press, 1977. -S.109-146. Dirac erinnert sich an sein Gespräch mit Schrödinger, das (ungefähr) 1940 stattfand.

Die Schrödinger-Gleichung ist konstruktionsbedingt nichtrelativistisch. Es folgt aus dem nichtrelativistischen klassischen Energieausdruck, indem man die Idee von De Broglie zum Ersetzen anwendet$(E,\vec p)$von$-i\hbar (\partial_t, \vec \nabla)$.

Die de Broglie-Beziehungen beziehen sich auf Energie$E$und Schwung$p$, mit Frequenz$\nu$und Wellenlänge$\lambda$

Die Schrödinger-Gleichung (für ein Teilchen) baut auf der nicht-relativistischen Beziehung auf

Wenn Sie eine relativistische Theorie wollen, würden Sie eine Wellengleichung finden wollen, die die relativistische Beziehung reproduziert

Ich habe mich oben auf den Fall beschränkt, die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen zu schreiben. Wie auf dieser Seite bereits erwähnt wurde, besteht eine Möglichkeit, die Quantenmechanik auf die Quantenfeldtheorie zu verallgemeinern, darin, die Wellenfunktion in ein Wellenfunktional umzuwandeln (eine Karte von Feldkonfigurationen zu komplexen Zahlen). Das Wellenfunktional gehorcht der Schrödinger-Gleichung (außer jetzt, wo der Hamilton-Operator ein Operator auf einem viel größeren Hilbert-Raum ist). Diese Schrödinger-Gleichung ist relativistisch, wenn die Quantenfeldtheorie, die sie beschreibt, relativistisch ist. Dies ist jedoch auf einem viel höheren Niveau als das, was meiner Meinung nach gefragt wurde.

Wie bekannt ist, diffundiert die Schrödinger-Gleichung ein ursprünglich lokalisiertes Teilchen in beliebig kurzer Zeit (aber mit geringer Wahrscheinlichkeit) beliebig weit.

In Formeln ist das Problem parabolisch:

Allerdings könnte man relativistische Randbedingungen verwenden$u(\pm ct,t)=0$

Beim Lösen durch spektrale Methoden diagonalisieren wir die Lhs und erhalten eine zeitabhängige Basis von Eigenfunktionen.

Wenn wir das Problem wieder einsetzen, werden die Entwicklungskoeffizienten in der Basis durch Integration erhalten. Mir wurde gesagt, dass dies unlösbar sei, aber die Lösung, die ich schreiben könnte, ist ein unendliches System gekoppelter Oden für die Ausdehnungskoeffizienten.

Die Eigenfunktionen sind

Die Lösung wird formal als unendliche Matrix potenziert.

In diesem Fall kann das Teilchen nicht fliegen, um die (relativistische) Kausalität zu verletzen.