Gibt es irgendein Theorem, das darauf hindeutet, dass QM+SR eine Operatortheorie sein muss?

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AKTUALISIEREN

Um meine Frage zu präzisieren, werde ich definieren, was ich unter einer Operatortheorie verstehe:

• Eine Operatortheorie ist eine Theorie, in der die dynamischen Objekte Operatoren sind, dh die Bewegungsgleichungen werden Operatoren auferlegt.

• Eine Wellenfunktionstheorie hingegen ist eine Theorie, in der die dynamischen Objekte Funktionen der Raumzeit sind, dh den Funktionen die Bewegungsgleichungen auferlegt werden.

In Wellenfunktionstheorien haben wir Differentialoperatoren (z. B.$-i\nabla$), aber diese sind nicht dynamisch, daher gibt es eine klare Unterscheidung zwischen einem Operator und einem Differentialoperator. Um die Unterscheidung deutlicher zu machen, platziere ich Hüte$\hat{\square}$über dynamische Operatoren.

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In den Anfängen der alten (nicht-relativistischen) Quantentheorie entwickelte Heisenberg eine Theorie, in der die fundamentalen Objekte Operatoren waren, nämlich die Orts- und Impulsoperatoren:

$$\begin{align} i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \hat X(t)&=[\hat X,\hat H] \\ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \hat P(t)&=[\hat P,\hat H] \end{align} \tag{QM.1}$$

Etwa ein Jahr später veröffentlichte Schrödinger eine neue Theorie, in der das fundamentale Objekt nur eine Funktion der Raumzeit ist:

$$-i\partial_t\psi(x)=-\frac{1}{2m}\Delta\psi(x)+V(x)\psi(x) \tag{QM.2}$$

Später bewies Schrödinger, dass die beiden Formulierungen tatsächlich äquivalent sind .

Heutzutage haben wir QFT, eine Operatortheorie , weil die Bewegungsgleichungen Feldern, dh Operatoren, auferlegt werden. Zum Beispiel ein Skalarfeld$\hat\phi$entwickelt sich durch

$$\begin{align} i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat\phi(x)=[\hat\phi,\hat H]\\ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat\pi(x)=[\hat\pi,\hat H] \end{align} \tag{QFT.1}$$ wo $\hat \pi$ist das zu konjugierte Feld $\hat\phi$.

Mir erscheint es mehr oder weniger selbstverständlich, nach einem möglichen zu fragen$(\mathrm{QFT.2})$, dh eine Formulierung der QFT als Wellenfunktionstheorie :

$$\begin{array} {}&\text{non-relativistic} & \text{relativistic}\\ \text{operator theory} & (\mathrm{QM.1}) & (\mathrm{QFT.1}) \\ \text{wave-function theory} & (\mathrm{QM.2}) & \quad ?? \end{array}$$

IMHO gehören funktionale Methoden (dh Pfadintegrale) zu einer Operatorsicht. Ich glaube, es ist nicht möglich, Pfadintegrale zu verwenden, um zum Beispiel Streuamplituden zu berechnen, ohne früher oder später Operatoren zu verwenden, was bedeutet, dass Pfadintegrale nicht wirklich in die passen$??$Slot.

Meine Frage(n) :

• Hat jemand etwas Ähnliches wie Schrödinger getan, im Sinne einer Neuformulierung von QFT unter ausschließlicher Verwendung von Funktionen der Raumzeit und Differentialoperatoren? Gibt es eine Theorie der relativistischen Quantenmechanik, in der die Formalismen aus PDEs bestehen?

• Wenn die Antwort auf die erste Frage lautet, dass es bis heute keine Wellenfunktionstheorie gibt, gibt es dann einen Grund zu der Annahme, dass es nie eine geben wird? Ich meine: Gibt es ein No-Go-Theorem oder ein Argument, das darauf hindeutet, dass es unmöglich ist, QFT als Wellenfunktionstheorie zu formulieren?

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Meine Gedanken dazu

Jede relativistische Wechselwirkungstheorie muss in der Lage sein, Phänomene der Schöpfung/Vernichtung zu beschreiben, was Operatoren leicht tun (durch$a,a^\dagger$). Aber eine einzelne Wellenfunktion muss eine feste Anzahl von Raum-Zeit-Argumenten haben, also muss die Anzahl der Teilchen fest sein. Das bedeutet, dass eine Wellenfunktion nicht ausreicht.

Eine Wellenfunktions-Wechselwirkungstheorie muss also aus unendlich vielen Wellenfunktionen mit jeweils unterschiedlich vielen Raum-Zeit-Argumenten bestehen:

$$\begin{align} &\psi(x_1)\\ &\psi(x_1,x_2)\\ &\psi(x_1,x_2,x_3)\\ &\cdots \end{align}$$ was bedeutet, dass wir eine unendliche Anzahl von PDEs haben müssen, einen für jeden $\psi$. Und die Lösungen müssen mit der Operatorformulierung der QFT konsistent sein, dh wir müssen beweisen, dass die neue Formulierung mit der alten äquivalent ist.

Ich glaube, dass der einfachere Weg, dies zu archivieren, darin besteht, die Korrelationsfunktionen von QFT (bzw$n$-Punkt-Funktionen)

$$\begin{align} \psi(x_1)&=\langle\hat\phi(x_1)\rangle\\ \psi(x_1,x_2)&=\langle\hat\phi(x_1)\hat\phi(x_2)\rangle\\ \psi(x_1,x_2,x_3)&=\langle\hat\phi(x_1)\hat\phi(x_2)\hat\phi(x_3)\rangle\\ &\cdots \end{align}$$

Damit sollte es prinzipiell möglich sein, die PDE's für die zu finden$\psi$ist in Bezug auf die PDE's für$\hat\phi$. Das heißt, wir sollten verwenden$(\partial^2+m^2)\hat\phi=\hat j$bekommen

$$\begin{align} \mathcal O_1\ \psi(x_1)&=\mathcal J(x_1)\\ \mathcal O_2\ \psi(x_1,x_2)&=\mathcal J(x_1,x_2)\\ \mathcal O_3\ \psi(x_1,x_2,x_3)&=\mathcal J(x_1,x_2,x_3)\\ &\cdots \end{align}$$ für einige Differentialoperatoren $\mathcal O_i$und einige Quellen $\mathcal J$. Sobald wir das Passende gefunden haben $\mathcal O_i,\mathcal J$, wird es keinen expliziten Verweis auf einen Operator geben, und wir verwenden nur Wellenfunktionen (natürlich haben diese Wellenfunktionen nicht die gleiche probabilistische Interpretation der nicht-relativistischen QM, aber das ist irrelevant: Der Punkt ist zu finden eine äquivalente Formulierung von QFT, die nur Funktionen der Raumzeit verwendet).

Ich weiß nicht, ob das viel Sinn macht oder ob es einen besseren Ansatz gibt. Jeder Kommentar wird geschätzt.