Spezielle Relativitätsversion von Feynmans "Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics"

Liebe mtrencseni, das spezielle relativistische Gegenstück zum Feynman-Papier von 1948, das Sie erwähnt haben, ist das Feynman-Papier von 1949

http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/feynman49b/eng.pdf

genannt "Spacetime Approach to Quantum Electrodynamics". Beachten Sie, dass ich denselben russischen Server verwendet habe, haha. Nun, genauer gesagt, die Quantenelektrodynamik ist ein wichtiges Beispiel für eine Quantenfeldtheorie, aber die allgemeinen Methoden in der Feynman-Veröffentlichung wurden nur in ihren „technischen Details“ aktualisiert, als die Leute eine ähnliche Beschreibung für eine Quantenfeldtheorie benötigen.

Wenn Sie erwartet hätten, dass die spezielle relativistische Version des Papiers von 1948 immer noch im Wesentlichen dasselbe sein würde, mit einigen$p^2/2m$ersetzt durch$mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}$, Sie müssen enttäuscht sein. Aber in Wirklichkeit ist es ein Grund für ein riesiges Glück.

Tatsache ist, dass man, wenn man die spezielle Relativitätstheorie zum quantenmechanischen Rahmen hinzufügt, sofort auf viele Effekte stößt, die uns zwingen, einen grundlegend anderen klassischen Ausgangspunkt zu verwenden – die Feldtheorie anstelle der Quantenmechanik. Warum?

Nun, wenn Sie mit der Quantenmechanik arbeiten – ob in einem Operator-Framework oder im Weg-Integral-Ansatz – respektiert sie die Lorentz-Symmetrie nicht. Um die Lorentz-Symmetrie zu respektieren, müssen Sie von der nicht-relativistischen Ein-Teilchen-Schrödinger-Gleichung zu etwas wie der Klein-Gordon-Gleichung oder der Dirac-Gleichung wechseln. Beide haben auch eine Pfad-Integral-Beschreibung, obwohl sie etwas subtil ist.

Nehmen Sie die letztere – die Dirac-Gleichung – weil sie für dasselbe Elektron relevant ist, das früher durch die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung beschrieben wurde. Man kann zeigen, dass die Gleichung aufgrund der Relativitätstheorie zwangsläufig Lösungen mit negativer Energie vorhersagt. Während$E=p^2/2m$hat nur nicht negative Energiewerte, die Bedingung$E^2-p^2 c^2-m^2 c^4$hat sowohl positive als auch negative Werte von$E$als Lösungen. Sie können es nicht vermeiden - die Quadratur von$E$ist ein grundlegendes Merkmal der speziellen Relativitätstheorie.

Und tatsächlich kann gezeigt werden, dass die Dirac-Gleichung auch Lösungen mit negativer Energie hat. Wenn Teilchen beliebig niedrige Energien haben könnten, gäbe es eine Instabilität. Sie könnten aus einem Elektron jede Energie gewinnen, während das Elektron auf beliebig niedrige, negative Energieniveaus fallen würde.

Die Natur vermeidet es, weil sie versucht, den Zustand mit der niedrigsten Energie zu finden, die gesamte überschüssige Energie zu zerstreuen und den Zustand mit der niedrigsten Energie „das Vakuum“ oder „den Grundzustand“ zu nennen. Nur so ist die Stabilität gewährleistet. Die Natur füllt also tatsächlich all diese Negativ-Energie-Zustände – sie hat keine Wahl. Überall gibt es dieses „Dirac-Meer“ aus Elektronen mit negativer Energie. Nach dem Pauli-Ausschlussprinzip kann es in jedem Zustand höchstens ein Elektron geben. Das Vakuum hat also 0 Elektronen in positiven Energiezuständen und 1 Elektron in jedem negativen Energiezustand.

Wenn in diesem Meer von Elektronenzuständen mit negativer Energie ein Loch fehlt, sieht es aus wie minus ein Elektron mit negativer Energie, dh es handelt sich um ein positiv geladenes Teilchen, das Positron, mit positiver Energie und positiver Ladung. So sagte Dirac Antimaterie voraus, die plötzlich gefunden wurde. Dafür bekam er seinen Nobelpreis.

Darüber hinaus werden Sie in der Relativitätstheorie feststellen, dass die Paarbildung von Teilchen unvermeidlich ist. Die Anzahl der Teilchen kann nicht erhalten werden. In gewissem Sinne liegt es daran, dass sich Teilchen in der Raumzeit hin und her bewegen können – und das Teilchen, das sich in der Zeit rückwärts bewegt, ein Antiteilchen ist.

Aus all diesen Gründen müssen Sie die Quantenfeldtheorie studieren, wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik kombinieren möchten. Durch die Quantisierung eines klassischen Feldes erhält man ein System, das wieder wie ein Teilchensystem aussieht. Die Anzahl der Teilchen, die aus den Quantenfeldern kommen, erweist sich als ganzzahlig (in der nicht-wechselwirkenden Grenze), aus dem gleichen Grund, warum die Energie eines harmonischen Quantenoszillators gleichmäßig verteilt ist. Sie werden in der Lage sein, die Mechanik in der nicht-relativistischen Grenze wiederherzustellen. Aber Sie werden nicht in der Lage sein, die Phänomene loszuwerden, die durch die Felder impliziert werden - wie die Paarbildung und die Paarvernichtung. Sie sind echt und wichtig.

Die relativistische Nicht-Feld-Quantenmechanik ist irgendwie inkonsistent – ​​oder zumindest kein praktikabler Ansatz zur Beschreibung der realen Welt. Sie werden also nur eine sehr begrenzte Zeit mit diesem Konzept verbringen – und Sie sollten schließlich zur Quantenfeldtheorie übergehen. Dies gilt unabhängig vom Formalismus – Schrödingers Gleichung für die Wellenfunktion, Heisenbergs Gleichungen für die Operatoren oder Feynmans Wegintegral-Ansatz. Was ich über die Felder sage, ist eine physikalische Einsicht, und physikalische Einsichten sind unabhängig von Konventionen und der Wahl der mathematischen Maschinerie.

Beste Grüße Lubos

Feynman veröffentlichte einen weiteren Ansatz für die Wegintegralmethode, die auf die Einzelteilchen-Klein-Gordon-Gleichung angewendet wird, in Anhang A von: Feynman, RP, "Mathematical Formulation of the Quantum Theory of Electromagnetic Interaction", Physical Review 80, 3 (1950), S. 440--457. In diesem Anhang ersetzt er die Klein-Gordon-Gleichung durch eine Schrödinger-ähnliche Gleichung mit einer fünften „Zeit“-Variablen. Dieser Trick wurde zuerst von Stueckelberg und auch recht früh von Fock angewandt. Es ermöglicht eine positive definitive Wahrscheinlichkeitsdichte und einen lokalisierbaren relativistischen Schrödinger-Positionsoperator. Sie stellt Zeit und Ort auf eine Stufe und erlaubt eine offensichtlich kovariante Beschreibung. Viele andere Forscher haben diese Art von Gleichung in jüngerer Zeit untersucht. In einigen modernen Variationen dieser Art von Theorie kann die Masse aus der Schale gehen,

Was oben beschrieben wurde, ist etwas, das als „Weltlinien-Ansatz“ der Quantenfeldtheorie bezeichnet wird, das im Geiste dem nicht-relativistischen „Summe-über-Teilchen-Wege“-Bild des Feynman/Hibbs-Buches ähnelt. Siehe zum Beispiel

Christian Schubert,
„Perturbative Quantenfeldtheorie im String-inspirierten Formalismus“,
Phys.Rept.355 (2001) 73-234,
hep-th/0101036 .

Wie Luboš bereits betonte, müssen Sie die Teilchenerzeugung/-vernichtung mehr oder weniger von Hand eingeben, aber die Methode kann dennoch eine nützliche rechnerische Alternative zu Standardmethoden der Quantenfeldtheorie sein (insbesondere wenn es um nicht triviale Leerstellen geht, z Hintergrund elektromagnetischer Felder).

Die hier von Feynman vorgestellte Methode ist der Path-Integral-Ansatz zur Quantenmechanik. Wenn Sie versuchen, die spezielle Relativitätstheorie einzubeziehen, müssen Sie auch von der Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie übergehen. Der pfadintegrale Ansatz wird dann auch als funktionale Integration bezeichnet.

Es gibt viele, viele Bücher zu diesem Thema, da es heute als Standardwerkzeug in der Quantentheorie gilt.

Einige Referenzen sind: Ein Buch des Mannes selbst: Feynman, Hibbs und Steiber

Der Wälzer über Pfadintegrale lautet:

Kleinert

Einige Bücher, die funktionale Integration und QFT behandeln, sind:

Nair

Peskin und Schröder

...und so ziemlich jedes andere moderne QFT-Buch.

Für den vollständigen Rahmen reicht, wie MisterO erklärte, jedes moderne Lehrbuch über QFT aus (ich persönlich mag Tony Zees Buch (Quantum Field Theory In A Nutshell) am meisten).

Am Ende des Artikels, auf den Sie sich beziehen, bemerkt Feynman: "Es gibt andere Wege, die Dirac-Gleichung zu erhalten, die eine klarere physikalische Interpretation dieser wichtigen und schönen Gleichung versprechen." Ich denke, er bezieht sich hier auf sein Schachbrettmodell, das er nie veröffentlicht hat (obwohl er es Jahre später in das Buch aufgenommen hat, das er gemeinsam mit Hibbs verfasst hat. Als Sprungbrett zum vollständigen Rahmen sollten Sie also dieses Feynman-Schachbrettmodell untersuchen (es gibt viel Material zu diesem Spielzeugmodell im Internet.) Und natürlich kann auch das sehr zugängliche Buch QED von Feynman (das sich allerdings wirklich an ein Laienpublikum richtet und die relativistischen Aspekte nicht auslotet) hilfreich sein um die Grundlagen von QFT zu lernen.