QFT = QM + SR? für Alltagsmenschen

Also leitete Heisenberg die Quantenrevolution ein, indem er hermitesche Matrizen einführte$x,p$befriedigend$xp-px = i\hbar$und sich gemäß den Gleichungen entwickeln

$$i\hbar ~\dot x = H x - x H,\\ i\hbar~\dot p = H p - p H.$$ Da die obige Vertauschungsrelation ergibt $p = -i\hbar \partial_x$aber auch $x = i\hbar\partial_p,$man kann hier ein Echo von Hamiltons Gleichungen sehen. Für Hamilton $x,p$sind Koordinaten für den Phasenraum und $H$weist jedem Punkt auf diesem Feld eine Nummer zu; für Heisenberg $x,p$sind in einem Experiment zu messende Zahlen, und daher war auf den ersten Blick nicht klar, durch was der Phasenraum ersetzt werden sollte oder womit die Matrizen operierten.

Auf der anderen Seite wussten wir, dass Planck und Einstein an einem abstrakten Punkt über die Quantisierung von Energien elektromagnetischer Strahlung fuhren, aber dass elektromagnetische Strahlung mit einigen Feldern beschrieben wurde $\vec E(\vec r, t), \vec B(\vec r, t)$. Und wir wussten, dass dies kein isolierter Punkt war: Einstein hatte seine Theorie der speziellen Relativitätstheorie auf dieselben Felder gestützt, und seine Theorie verlangt, dass alle Informationen langsamer als übertragen werden$c$. (Ein Grund dafür: Zwei Passanten werden beide sagen, dass die Uhr des anderen langsam tickt. Wenn sie eine sofortige Informationsübertragung hätten, könnten sie sich im Prinzip gegenseitig anrufen und einfach sehen, wer langsamer spricht als der andere und stellen Sie fest, welche absolut in Bewegung ist. Die Zeitverzögerung macht diese Frage unmöglich zu beantworten.)

Das Erfordernis, dass sich diese Art von Einfluss mit einer bestimmten Geschwindigkeit oder langsamer ausbreitet, scheint diesen Begriff eines Feldes dazwischen zu erfordern : Sie müssen sagen, "die Wirkung dieser Bewegung hat noch nicht dort angekommen, wo Sie sind ", was impliziert, dass Sie einen Begriff haben von wo die Kraft ist und wo nicht, was eine Feldbeschreibung dieser Kraft ist.

In diesem Sinne war es nur eine Frage der Zeit, bis man versuchte, eine Feldtheorie mit der Quantenmechanik zu verwenden. Aber hier sind Ihre Freiheitsgrade bei der Konfiguration des Feldes nicht mehr vorhanden$x, p$-- in der Tat ist dies ein Schritt zurück von Heisenberg, diese sind zurück zu einer "Landschaft", auf der die Theorie lebt. Aber Ihre Freiheitsgrade sind der unendliche Satz von Feldwerten an allen verschiedenen Punkten des Raums,$f(\vec r, t)$.

Und so ist es die Grundlage von QFT, dass diese Zahlen zu Matrizen befördert werden. Mit anderen Worten, Sie erfinden einen abstrakten euklidischen/Minkowski-Raum, Sie haben ein skalares Feld, das jedem Punkt in diesem Raum eine skalare Zahl zuweist, und wir betreiben Quantenmechanik, indem wir den Raum in Ruhe lassen, aber das skalare Feld fördern, um es jedem Punkt im Raum zuzuweisen ein hermitescher Operator.

Nun stellt sich die Frage, warum dies notwendig wäre, sobald die Relativitätstheorie ins Spiel kommt, und die typische Antwort sind die Änderungen, die die Relativitätstheorie in der Quantennatur von Teilchen vorzuschlagen scheint. Die traditionelle Quantenmechanik basiert auf einem Modell, bei dem ein Zwei-Teilchen-System einen Phasenraum mit 4 Variablen fördert$x_1,x_2,p_1,p_2$in vier Matrizen$x_{1,2}$,$p_{1,2}$. Diese Ableitung erscheint in Ordnung, solange der Phasenraum gleich bleibt. Aber die Relativitätstheorie kommt herein und zeigt anscheinend an, dass wir berücksichtigen müssen (wenn auch nur durch Rotation von Feynman-Diagrammen in der Raumzeit), dass neue Teilchen in unserer Physik erzeugt oder zerstört werden könnten. Der Phasenraum ändert sich! Dies führt zu einer großen Schwierigkeit bei der Definition des Hilbert-Raums, in dem die Wellenfunktion lebt.

Hier ist es sehr schön, einfach mehrere Felder auf einem gemeinsamen physischen Raum zu haben, anstatt unabhängige physische Räume für jedes Partikel. Als Bonus bekommen wir gewissermaßen "umsonst", dass es im "Elektronenfeld" zwei Anregungen geben kann und dass sie völlig identische Teilchen darstellen, was die Quantenstatistik anscheinend forderte, aber absurd erschien: Sie sehen sich a an Proton, das als kosmischer Strahl hereinkommt, es ist seit einem uralten Ereignis über so viele Lichtjahre durch den Weltraum gereist, und Sie sagen mir, dass es genau dasselbe ist wie ein Proton, das ich fünf Sekunden lang aus dem Beta-Zerfall eines freien Neutrons bekommen habe vor ?! Das ist plausibler, wenn sie beide nur "

Der Unterschied besteht also darin, dass sich QM dazu eignet, Konfigurationsräume mit einem "Tensorprodukt" zu einem gigantischen Durcheinander zu kombinieren, und Schwierigkeiten hat, seine Dimension zu ändern. QFT beginnt mit einem noch gigantischeren Durcheinander, kommt aber damit davon, es nie ändern zu müssen.

Es gibt andere geringfügige Unterschiede – technisch gesehen basiert QM auf der Hamiltonschen Mechanik eines Systems, während QFT auf seiner Lagrangeschen Mechanik basiert – aber ich denke, dass diese vergleichsweise geringfügig sein könnten.

Eine Möglichkeit, über die ich gerne nachdenke, ist, dass die Quantenmechanik die Quantisierung der Newtonschen Physik ist, in der wir uns mit diskreten Teilchen befassen. Wohingegen die Quantenfeldtheorie die Quantisierung der klassischen Feldtheorie ist. Anstelle einzelner diskreter Teilchen haben wir jetzt also Quanten, die Anregungen eines immer vorhandenen Feldes sind.

Es gibt keine Partikel, es gibt nur Felder, die diesbezüglich eine gute Referenz sein könnten.

Wenn ich gewöhnlichen Menschen erklären möchte, was der Hauptunterschied zwischen der ursprünglichen QM und der relativistischen QFT ist, was wäre die Antwort? Ist es einfach nur so, dass das eine nicht-relativistisch ist und das andere sich mit relativistischen Effekten befasst?

Sie haben Recht QFT ist unser Bemühen, SR und QM auf feldtheoretische Weise zu kombinieren, aber es gibt eine Menge, die mit dem Hinzufügen von Special Relativity (SR) einhergeht. Der wahrscheinlich größte Unterschied besteht darin, dass man Partikel erzeugen und vernichten kann, indem man die Masse- und Energiebeziehung von SR einführt. Ohne diese Tatsache könnten wir nicht beschreiben, wie unsere Sonne Energie produziert. Das oben Genannte erfordert ein Verständnis des Beta-Plus-Zerfalls, bei dem ein Proton vernichtet wird und ein Neutron, ein Elektron und ein Anti-Elektron-Neutrino erzeugt. Wir wären wirklich nicht in der Lage, viele Wirkungsquerschnitte (Wahrscheinlichkeit wechselwirkender Teilchen, auf eine bestimmte Weise zu wirken) genau zu berechnen, ohne die Möglichkeit zu berücksichtigen, dass die Teilchen in andere zerfallen.

Ich sollte auch anmerken, dass diese Verbindung von Feldern nicht gerade einfach ist. Wir müssen viele neue Konzepte wie No-Go-Theoreme einführen, neue Wege finden, mit Divergenzen in unseren Berechnungen umzugehen und vieles mehr.