Wie entsteht Spin in der (relativistischen oder nicht) Quantenmechanik?

Was sind überhaupt Teilchen ? Und was genau ist diese Eigenschaft, die wir „Spin“ nennen?

Ein moderner Weg, um zum Begriff der Teilchen zu gelangen, der möglicherweise transparenter ist als die historische Version, die Sie in Ihrem Beitrag zusammenfassen, ist die Art und Weise, wie sie in Weinbergs Lehrbuch über die Quantenfeldtheorie eingeführt werden.

Nehmen Sie den Hilbertraum$\mathcal{H}$Ihrer Quantentheorie, und nehmen Sie die Gruppe$G$von Symmetrien eurer Raumzeit. Um sicherzustellen, dass ein Experiment die gleichen Ergebnisse liefert, wenn ich es in der Raumzeit bewege, drehe oder auf eine Kreuzfahrt mitnehme, sollte es eine einheitliche Darstellung geben $U$von$G$an$\mathcal{H}$. Dh. für alle$g \in G$, sollte es einen einheitlichen Operator geben$U(g)$an$\mathcal{H}$, mit:

$$U(1) = \text{id}_{\mathcal{H}} \;\&\; U(g.h) = U(g) U(h).$$

Wir können diese Darstellung dann zerlegen$\mathcal{H}, U$in einfachere Darstellungen. Das bedeutet Schreiben$\mathcal{H}$als direkte Summe kleinerer Hilberträume:

$$\mathcal{H} = \bigoplus_k \mathcal{H}_k$$ mit jedem $\mathcal{H}_k$von allen stabilisiert werden $U(g)$zum $g \in G$, so dass $\mathcal{H}_k, U_k := \left. U \right|_{\mathcal{H}_k}$ist selbst eine einheitliche Darstellung von G.

Eine Darstellung, die keine kleinere Darstellung enthält, wird als irreduzible Darstellung oder Irrep bezeichnet, und die einfachsten Irreps sind diejenigen, die Quantenzustände mit nur einem Teilchen enthalten (siehe Weinberg für das, was "einfachste" hier genau bedeutet). Also jeder (einfache) Irrep der Symmetriegruppe$G$das kann in unserer Theorie gefunden werden$\mathcal{H}$ist das, was wir als Partikelspezies definieren .

Ganzzahlige Spins

Gut, wenn wir also wissen wollen, welche Teilchenarten physikalisch möglich sind, müssen wir nur wissen, was die "einfachsten" Darstellungen unserer Gruppe von Symmetrien sind. Glücklicherweise ist eine vollständige Klassifizierung davon für die Poincaré- oder Galilean-Gruppe bekannt. Die Art und Weise, wie es aufgebaut ist, wäre zu lang, um es hier zu reproduzieren, aber es kann wiederum in großen Details in Weinberg für die Poincaré-Gruppe gefunden werden (kurze Berichte sowohl über den Poincaré- als auch den Galilean-Fall finden Sie auf Wikipedia). Unter dem Strich haben sie für physikalisch zulässige massive Teilchen die Form:

$$\mathcal{H}_k = \text{Span} \left\{ \left| \vec{p}, m \right\rangle \middle| \vec{p} \in \mathbb{R}^3, m \in \mathbb{Z}, -s_k \leq m \leq +s_k \right\}$$ mit der nicht negativen ganzen Zahl $s_k$was der Spin dieser Teilchenart genannt wird $k$und $\vec{p}$Sein Antrieb. Der Impuls bestimmt, wie sich das Teilchen unter einer räumlichen Translation transformiert : $$U_k(\text{translation by } \vec{\alpha}) \left| \vec{p}, m \right\rangle = e^{i \vec{\alpha}.\vec{p}} \left| \vec{p}, m \right\rangle$$ (genauso wie in der guten alten Impulsdarstellung von QM). Seine Spin-Nummer bestimmt, wie es sich unter einer Rotation verwandelt : $$U_k(\text{rotation by } \vec{\theta}) \left| \vec{p}, m \right\rangle = \sum_{m^\prime} R^{(s_k)}_{mm^\prime}(\vec{\theta}) \left| R(\vec{\theta}) \vec{p}, m^\prime \right\rangle$$ mit $R(\vec{\theta})$das Übliche $3\times 3$Rotationsmatrix wirkt auf $\vec{p}$und $R^{(s_k)}$ein irrep der Rotationsgruppe $\mathcal{SO}(3)$.

Die Intuition hinter dieser Form von$U_k$ist das der Spin$s_k$erfasst die Art und Weise, wie das Teilchen durch eine Rotation beeinflusst werden kann, die über die offensichtliche Rotation seines Impulses hinausgeht$\vec{p}$. Die klassische Analogie ist hier die eines starren Körpers, der bei einer Rotation nicht nur seine Position, sondern auch seine Orientierung ändert.

Der Grund, warum der Spin eine ganze Zahl ist, liegt an der Irreps von$\mathcal{SO}(3)$sind durch ganze Zahlen gekennzeichnet: Spin-0 ist die triviale Darstellung$R^{(0)}(\vec{\theta}) = \text{id}, \forall \vec{\theta} \in \mathbb{R}^3$Auf einem 1-dimensionalen Vektorraum ist Spin-1 die übliche Darstellung durch$3 \times 3$Matrizen und so weiter.

Halbzahlige Spins

Aber jetzt gibt es eine Wendung (bildlich und mathematisch ...). Wie in einem früheren Kommentar von ACuriousMind erwähnt und im verlinkten Thread ausführlich erklärt , ist die Gesamtphase eines Quantenzustands nicht physikalisch messbar . Das bedeutet, dass wir mit weniger als einer streng einheitlichen Darstellung davonkommen können$G$an$\mathcal{H}$, und stellen Sie dennoch sicher, dass alle experimentellen Ergebnisse unveränderlich sind unter$G$! Wir können nämlich ersetzen:

$$U(g\cdot h) = U(g) U(h) \text{ by } U(g\cdot h) = e^{i \varphi(g,h)} U(g) U(h)$$ mit den Phasenfaktoren $\varphi(g,h)$Erfüllung geeigneter Konsistenzbeziehungen. Solche einheitlichen Darstellungen "bis auf zusätzliche Phasenfaktoren" werden projektive Darstellungen genannt .

Wenn man nachrechnet, stellt man fest, dass dies für die Poincaré/Galilean-Gruppe einige zusätzliche mögliche Irreps ergibt, die Teilchenarten mit halbzahligem Spin entsprechen. Sie entsprechen projektiven Darstellungen der Rotationsgruppe, in der eine Rotation von$2\pi$hat eine nicht triviale (wenn auch nicht nachweisbare) Wirkung auf den Quantenzustand:

$$U_k(\text{rotation by } 2\pi) \left| \vec{p}, m \right\rangle = - \left| \vec{p}, m \right\rangle$$

Beobachtbare Signatur?

Aber warte! Wenn dieses zusätzliche Minuszeichen sowieso nicht physikalisch nachweisbar ist, woher wissen wir dann , dass einige Teilchen einen halbzahligen Spin haben?

Dies hat mit den Eigenschaften von Quantenmessungen zu tun , die das Spektrum (auch bekannt als Eigenwerte) der gemessenen Observablen offenbaren . Wir können nicht direkt beobachten, dass sich der Quantenzustandsvektor unter einer projektiven Darstellung transformiert, aber wir können ihn indirekt bestimmen, weil er in das Spektrum des Drehimpulsoperators eingeprägt wird.

Was ist mit der klassischen (Nicht-Quanten-)Mechanik?

Nehmen wir zum Beispiel für die Konkretheit ein klassisches mechanisches System, ein System starrer Körper, die möglicherweise über konservative Kräfte interagieren. Der Phasenraum eines solchen Systems trägt eine nicht-projektive Darstellung$T$der galiläischen Gruppe (wir können dies überprüfen, indem wir es explizit schreiben). Aber diese Darstellung ist keine lineare Darstellung (bestenfalls kann es eine affine Darstellung sein, da Übersetzungen, nun ja, durch Übersetzungen wirken). Spin im obigen Sinne macht also nicht sofort Sinn.

Stattdessen können wir für dieses System klassische statistische Physik betreiben: dh. Schreiben Sie eine Feldgleichung für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $\rho$auf dem Phasenraum (der als klassisches Gegenstück zu einer quantenmechanischen Wellenfunktion angesehen werden kann). Der Raum$\mathcal{P}$solcher Wahrscheinlichkeitsverteilungen trägt naturgemäß eine lineare Darstellung$U$von$G$definiert von:

$$\forall g \in G,\; [U(g) \rho](x) = \rho\big(T(g^{-1})x\big)$$ was wiederum eine nicht-projektive Darstellung ist (genau genommen sind zulässige Wahrscheinlichkeitsverteilungen positiv und normalisiert, aber wir können ihre Spineigenschaften untersuchen, indem wir in dem Vektorraum arbeiten, den sie überspannen: Dies ist analog zur Betrachtung des gesamten Hilbert-Raums in der Quantenmechanik , obwohl tatsächliche Quantenzustände normalisiert werden sollten).

Was wäre also ein "Halbzahl-Spin-Modus" für ein solches System? Nach der zuvor erläuterten Definition von Spin wäre das ein halbzahliger Spin irrep$\mathcal{P}_k \subseteq \mathcal{P}, U_k := \left. U \right|_{\mathcal{P}_k}$erscheint in der Zerlegung von$\mathcal{P}, U$. Kann so ein$\mathcal{P}_k$existieren? Nein!

In der Tat, wenn es so wäre, hätten wir eine Verteilung$\rho \in \mathcal{P}_k \setminus \{0\}$so dass

$$U(\text{rotation by } 2\pi) \rho = U_k (\text{rotation by } 2\pi) \rho = -\rho,$$ aber seit $U$eine nicht-projektive Darstellung ist, das wissen wir bereits $U(\text{rotation by } 2\pi) \rho = \rho$.

Ein ähnliches Argument lässt sich beispielsweise auf das klassische elektromagnetische Feld anwenden: Der Lösungsraum der Maxwellschen Gleichungen trägt eine nicht-projektive lineare Darstellung der Poincaré-Gruppe (man könnte sagen: durch historische Definition der letzteren).

Was ist mit einem thermodynamischen System?

Angenommen, ich nehme eine große Anzahl mechanischer Körper, die über konservative Kräfte (z. B. Moleküle) interagieren, und nehme die thermodynamische Grenze, um effektive Gleichungen für eine makroskopische Variable abzuleiten (z. B. ihre Dichte). Könnte eine solche Gleichung halbzahlige Modi aufweisen? Dh. könnte sein Lösungsraum eine projektive Darstellung von G tragen? Lassen Sie uns ein paar Experimente machen:

Nehmen Sie zwei völlig identische Kästen, die dieses thermodynamische System enthalten, und führen Sie genau das gleiche Experiment mit ihnen durch, außer dass der zweite zuerst einem vollen ausgesetzt wird$2\pi$-Rotation ( sehr langsam , um kein (lokales) thermodynamisches Gleichgewicht zu stören). Da die zugrunde liegende mikroskopische Theorie eine nicht-projektive Darstellung von G enthält, sollten die beiden Experimente genau das gleiche Ergebnis liefern!

Beachten Sie, dass man bei Argumenten dieser Art sehr vorsichtig sein muss. Die thermodynamische Grenze kann komische Dinge mit den Symmetrien eines Systems anstellen. Dies ist als Symmetriebruch bekannt, während der Lösungsraum der zugrunde liegenden mikroskopischen Theorie unter einer bestimmten Gruppe invariant sein kann$G$, kann eine bestimmte thermodynamische Phase weniger Symmetrie haben, weil sie nicht den gesamten Lösungsraum ausschöpft (Stichwort: Ergodizität, oder genauer gesagt deren Fehlen).

Aber ein solcher Mechanismus kann eine nicht-projektive Darstellung nicht in eine projektive umwandeln: da a$2\pi$-Rotation mich wieder auf die exakt gleiche mikroskopische Konfiguration bringt, von der ich ausgegangen bin, lande ich garantiert nicht in einer anderen thermodynamischen Phase.

Können wir cheaten?

Angenommen, ich erstelle eine mathematische Beschreibung eines physikalisch gültigen klassischen Systems, in das ich mich aus technischen Gründen entscheide, eine nicht messbare Hilfsgröße einzuführen (z. B. eine komplexe Phase). Da die Hilfsgröße nicht messbar ist, kann ich sie auf jede mathematisch geeignete Weise transformieren lassen. Auf diese Weise komme ich möglicherweise zu einer Beschreibung eines klassischen Systems, das eine projektive Darstellung aufweist.

Aber immer noch wird das ursprüngliche physikalische System kein beobachtbares Halbzahl -Spin-Verhalten zeigen. Denn die wirklich messbaren Größen müssen unter einem vollen invariant sein$2\pi$-Rotation, sollte eine Grundbeschreibung desselben Systems existieren, die auf die Einführung von Hilfsgrößen verzichtet und eine nicht-projektive Darstellung trägt. Bei der Berechnung experimenteller Vorhersagen unter Verwendung dieser grundlegenden Beschreibung sollten keine halbzahligen Spins auftauchen.

TL;DR: Dies unterscheidet sich entscheidend von dem oben diskutierten quantenmechanischen Fall, in dem Sie eine nicht-projektive Repräsentation verstecken können, um sie zu bewahren$2\pi$-Rotationsinvarianz, wobei dennoch eine beobachtbare Signatur beibehalten wird.

Bonus: Gibt das Wick-Rotieren einer Quantengleichung eine thermodynamische Gleichung?

Ich denke nicht, dass die Wick-Rotation als eine Art magische Transformation angesehen werden sollte, um eine QM-Gleichung in eine thermodynamische zu verwandeln.

Es besteht eine Verbindung zwischen der Quantenfeldtheorie in der 3+1d-Minkowski-Raumzeit und der statistischen Feldtheorie im 4d-euklidischen Raum. Aber die statistische Physik (die Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über (Feld-)Konfigurationen) ist nicht ganz dasselbe wie die Thermodynamik (die Ableitung effektiver Gleichungen für makroskopische Variablen im Limit der großen Teilchenzahl).

Ich vermute, dass das Erscheinen der Wärmegleichung als komplexe Zeit-Schrödinger-Gleichung eher ein Zufall ist, da es nur so viele lineare PDEs gibt, die Sie mit einer bestimmten Reihenfolge in Raum- und Zeitableitungen schreiben können.

Wenn Sie die Wick-rotierte Dirac-Gleichung trotzdem untersuchen möchten, sind die Wick-rotierten Gammamatrizen ein guter Ausgangspunkt . Sie erhalten eine Feldgleichung, die eine projektive Darstellung der 4d-euklidischen Gruppe enthält, sicher. Aber die Wick-Rotation einer physikalisch gültigen Quantengleichung garantiert nicht a priori eine besondere physikalische Relevanz für die resultierende Gleichung: Tatsächlich kann eine solche Gleichung kein tatsächliches physikalisches System beschreiben, schon allein deshalb, weil wir, wie Flippiefanus betonte, nicht leben im 4d euklidischen Raum ;-).

Zu deiner ersten Frage,

Liege ich falsch, wenn ich denke, dass Spin weder mit Relativitätstheorie noch mit Quantenmechanik zu tun hat?

Nehmen wir Spin als „Eigendrehimpuls“. Dann können wir fragen, ob es ein konsistentes klassisches Galileisches Spinmodell gibt? Gibt es eine konsistente klassische Lorentz-kovariante Theorie des Spins? Die Antwort ist ja, auf beide Fragen.

Für den galiläischen Fall ist es ganz einfach. Sie können die Hamilton-Mechanik an jeder Mannigfaltigkeit anwenden, die eine sogenannte symplektische Struktur hat. Glücklicherweise die Zwei-Sphäre$S^2$lässt genau eine solche Struktur zu. So kann die Dynamik zB durch die Hamilton-Funktion definiert werden

$$H = \frac{(\mathbf p - q\mathbf A)^2}{2m} + q\phi + \mu \mathbf B(\mathbf x) \cdot \mathbf S$$ und die Poisson-Klammern $$\{x_i, p_j\} = \delta_{ij} \quad \{s_i, s_j \} = \epsilon_{ijk} s_k.$$ (Sehen Sie, wie die Poisson-Klammer für den Spin dieselbe ist wie die Kommutierungsrelation für die Pauli-Matrizen? Das ist natürlich kein Zufall - es liegt daran $\mathfrak{su}(2) \sim \mathfrak{so}(3)$.) Die Bewegungsgleichungen sind $$\dot f = \{ f, H\}$$ wie gewöhnlich. Sie können ausrechnen, dass Sie die übliche Lorentz-Kraft plus eine Gradientenkraft erhalten und der Spin präzediert $\mathbf B$.

Was ist nun mit dem Lorentz-Fall? Tatsächlich geht eine solche Theorie Paulis Einführung seiner berühmten Matrizen voraus . Es wurde 1926 in kovarianter Form Frenkel veröffentlicht [1] und später in diesem Jahr leitete Thomas seine gleichnamige Präzession ab [2]. Die Bewegungsgleichung von Thomas für den Spin wurde später von Bargmann, Michel und Telegdi [3] wiederentdeckt. Thomas betrachtete nur homogene Felder. RH Good [4] und IY Tamm (leider habe ich die Originalliteratur im Moment nicht, aber das Papier ist sowieso auf Russisch) erweiterten dies auf inhomogene Felder. Das Frenkel-Modell und die Tamm-Good-Gleichungen werden in Refs. [5, 6].

Nun stellt sich natürlich die Frage, ob man zwischen klassischen und Quantenmodellen unterscheiden kann? Nun, das Stern-Gerlach-Experiment [7] macht das. Die wahre Geschichte ist laut Wissenschaftshistorikern etwas komplizierter [8-10]. (Ich sollte einen Haftungsausschluss hinzufügen, dass ich diese Papiere nicht im Detail gelesen habe, da ich keine Zeit hatte. Aber ich denke, Sie werden sie interessant finden.) Andererseits sind Bell- und GHZ-Experimente ziemlich überzeugend, dass wir sie live durchführen in einer Quantenwelt.

Wir können auch nach Stern-Gerlach-Effekten im relativistischen Regime suchen, indem wir das Frenkel-Modell/die Tamm-Good-Gleichungen verwenden und mit einer Berechnung basierend auf der Dirac-Gleichung vergleichen. (Um nicht die volle QED verwenden zu müssen, sollte man die Foldy-Wouthuysen-Transformation [11-14] verwenden.) Dies wurde kürzlich von Weng, Bauke und Keitel [15] durchgeführt und zeigte, dass stark relativistische Elektronen in extrem intensiven Laserfeldern haben verschiedene Bewegungen nach den Modellen von Frenkel und Foldy-Wouthuysen. Laut Weng, Bauke und Keitel liegt der Unterschied zumindest bei Lasern der nächsten Generation plausibel innerhalb experimenteller Grenzen.

Verweise

[1] J. Frenkel, Nature 117, 653 (1926).

[2] LH Thomas, Nature 117, 514 (1926).

[3] V. Bargmann, L. Michel und VL Telegdi, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).

[4] RH Gut, Phys. Rev. 125, 2112 (1962).

[5] VG Bagrov und VA Bordovitsyn, Sov. Phys. J. 23, 128 (1980).

[6] IM Ternov und VA Bordovitsyn, Sov. Phys. Uspekhi 23, 679 (1980).

[7] B. Friedrich u. D. Herschbach, Phys. Heute 56, 53 (2003).

[8] F. Weinert, Gestüt. Hist. Philos. Mod. Phys. 26, 75 (1995).

[9] D. Giulini, Gestüt. Hist. Philos. Mod. Phys. 39, 557 (2008).

[10] M. Morrison, Gestüt. Hist. Philos. Mod. Phys. 38, 529 (2007).

[11] LL Foldy und SA Wouthuysen, Phys. Rev. 78, 29 (1950).

[12] JP Costella und BHJ McKellar, Am. J. Phys. 63, 1119 (1995).

[13] AJ Silenko, Phys. Rev. A 77, 12116 (2008).

[14] D.-W. Chiou und T.-W. Chen, 1 (2015).

[15] M. Wen, H. Bauke und CH Keitel, Sci. Rep. 6, 31624 (2016).

Liege ich falsch, wenn ich denke, dass Spin weder mit der Relativitätstheorie noch mit der Quantenmechanik zu tun hat?

Der Spin ist Teil des Drehimpulses (der andere Teil ist der Bahndrehimpuls). Es stammt aus dem Teil der Lorentz-Gruppe, der sich mit dreidimensionalen Rotationen beschäftigt. Als solches haben Sie Recht, es hat nichts mit der speziellen Relativitätstheorie zu tun, da es nicht um die Boosts geht.

Sie haben auch Recht, dass es nicht um Quantenmechanik gehen muss, denn Rotationen sind auch in klassischen Theorien relevant. Tatsächlich wurde die Idee der mit Rotationen verbundenen Kommutierungsbeziehungen bereits 1843 von Hamilton vorgeschlagen, lange vor dem Aufkommen der Quantenmechanik.

Wir wissen, dass die Wärmegleichung durch eine Wick-Rotation mit der Schrödinger-Gleichung zusammenhängt. Was ist das Äquivalent einer Wick-rotierten Pauli- oder Dirac-Gleichung?

Die Wick-Rotation wandelt die Zeitdimension in eine euklidische Dimension um, im Gegensatz zur Minkowski-Zeitdimension, die in der speziellen Relativitätstheorie zu finden ist. Ich weiß nicht, ob jemals jemand die Dirac-Gleichung auf diese Weise betrachtet hat, aber man kann versuchen, sich vorzustellen, was dies bedeuten oder darstellen würde. [Ich werde versuchen, die Mathematik später hinzuzufügen.] Eine Möglichkeit, sich beispielsweise die Dirac-Gleichung vorzustellen, besteht darin, sie als die „Quadratwurzel“ der Klein-Gordon-Gleichung zu betrachten. Aus dieser Perspektive können die Dirac-Matrizen abgeleitet werden, indem verlangt wird, dass sie den metrischen Tensor reproduzieren, wenn sie die Dirac-Gleichung quadrieren, um die Klein-Gordon-Gleichung wiederherzustellen. In der von Wick gedrehten Version der Klein-Gordon-Gleichung erhält man eine 4-dimensionale Poisson-Gleichung. Dies bedeutet, dass die nach Wick gedrehte Version der Dirac-Gleichung die Quadratwurzel dieser 4-dimensionalen Poisson-Gleichung wäre. Die entsprechenden Matrizen (analog zu den Dirac-Matrizen) müssen dann beim Quadrieren die Einheitsmatrix wiedergeben. Die resultierende Gleichung würde dann eine Art Spin in 4 Dimensionen darstellen.

Natürlich wird erwartet, dass es sich um eine klassische Feldgleichung handelt, die die Entwicklung makroskopischer Variablen eines thermodynamischen Systems einschränkt, aber welche?

Ich bin mir nicht sicher, woher dieses "natürlich" kommt, aber die Verbindung zur Thermodynamik ist mir nicht klar. Ich glaube nicht, dass die Analogie zwischen der Wärmegleichung und der Schrödinger-Gleichung in allen Fällen mit Wick-Rotationen funktioniert.

Gibt es einen Begriff des Spins, der mit den klassischen Feldmoden verbunden ist, die die vorherige Gleichung lösen? Wie können wir in einem solchen Fall eine Spin-1/2-Eigenschaft testen?

Wenn man eine Wick-Rotation auferlegt, ändert man natürlich die Symmetrieeigenschaften des Systems. Man bewegt sich vom Minkowski-Raum zu einem 4-dimensionalen euklidischen Raum. Daher ändert sich die Symmetriegruppe von der Lorentzgruppe SO(1,3) zu SO(4). Ersteres enthält 6 Generatoren, die den drei Boosts und den drei Rotationen zugeordnet sind. Letzteres ist ebenfalls gut untersucht (siehe hier ). Es enthält die wohlbekannten Spindarstellungen in Form von Untergruppen.

Gibt es eine tiefe Beziehung zwischen der Linearisierung einer Gleichung und der Wick-Rotation?

Ich nehme an, dass sich der Begriff Linearisierung auf den Prozess bezieht, den ich Quadratwurzel genannt habe , der zum Beispiel die Dirac-Gleichung mit der Klein-Gordon-Gleichung in Beziehung setzt. In diesem Fall glaube ich nicht, dass dies mit der Wick-Rotation zusammenhängt. Letzteres verändert die Eigenschaften des Raums, in dem die Gleichungen definiert sind. Ich glaube auch nicht, dass der Quadratwurzelprozess, der verschiedene Gleichungen in Beziehung setzt, als „Quadratwurzel einer Geometrie“ angesehen werden kann, es sei denn, Geometrie bezieht sich in diesem Zusammenhang auf die Spindarstellung. Es ändert nicht die Art des Raums, in dem die Gleichungen definiert sind, aber es ändert die Art der Felder, mit denen sich die Gleichung befasst.

Dies ist keine vollständige Antwort, sondern meine Idee zu diesem Thema. Pauli-Matrizen (SU(2)) gehorchen denselben Kommutierungsrelationen wie Raumrotationen (SO(3)). Dies liegt daran, dass SU(2) die universelle Überdeckung von SO(3) ist. Wenn Sie irreduzible Darstellungen einer gegebenen Gruppe SO(n) verwenden, verwerfen Sie im Wesentlichen die spezifische Gruppenstruktur und beschränken sich nur auf die Kommutatorstruktur. Das heißt, diese Repräsentationen sind diejenigen der universellen Hülle. Für die (Quanten-)Physik ist das in Ordnung, weil unsere Theorien lokale Theorien sind und die lokale Struktur der ersteren Gruppe die gleiche ist wie die der universellen Hülle.

Jetzt kommt der springende Punkt. SO(3) ist sowohl eine Untergruppe der Galileischen Gruppe als auch der Poincaré-Gruppe. Wenn Sie also die projektiven Darstellungen verwenden (wie in einem der Kommentare hervorgehoben), führen beide dazu, dass SU (2) und damit der Spin "Teil" der projektiven einheitlichen Gruppenstruktur sind.

Spin ist eine Verallgemeinerung von Raumrotationen und als solche "Teil" der projektiven Darstellungen der Galileischen Gruppe und der Poincaré-Gruppe.

Ich habe jedoch keine Ahnung von diesem Wick-Rotationsteil Ihrer Frage.

LATE UPDATE (bei Vote = -2), zu Issams Frage 1 und allgemein:

AFAIK, niemand hat sich hier direkt auf die Linearisierung der Schrödinger- Gleichung bezogen (im Unterschied zur Linearisierung des K-GE).

Es ist das Thema von Abschnitt 4.2 von Kapitel 4 „Pauli Spinors“ in der englischen Übersetzung von Jean Hladiks kleinem Textjuwel „Spinors in Physics“ (Springer, 1999) , der einige prägnante Zusammenfassungen bietet, die hier eingescannt wurden.

1) Seine Einleitung auf S. 100, kurz vor Abschnitt 4.2 In Kap. 4:

Es war Paulis Theorie und dann Darwins Theorie, die versuchte, den Magnetismus des Elektrons auf eine Weise einzuführen, die der Relativitätstheorie entspricht, indem er vier Funktionen definierte, die die Komponenten eines Raum-Zeit-Vektors darstellen, die Dirac dazu inspirierten, seine Theorie des relativistischen Elektrons zu erfinden . Dirac, der die früheren relativistischen Theorien untersuchte, wurde zu einer neuen Hypothese geführt, dass die Gleichungen, die die Entwicklung der Komponenten ψi der Wellenfunktion steuern, in Bezug auf die vier Variablen z, y, z, t erster Ordnung sein müssen, obwohl sie relativistisch sind Gleichungen, die die Schrödinger-Gleichung verallgemeinern, waren in diesen Variablen zweiter Ordnung. [ Dieser Absatz dient nur dem Kontext ]

Die Idee, die Schrödinger-Gleichung selbst zu linearisieren, wurde als nächstes entwickelt, inspirierte Diracs Arbeiten und ermöglichte die Wiederherstellung der Pauli-Gleichungen, in die der Spin dann automatisch eingeführt wurde. Die Existenz des Spins ist folglich kein rein relativistischer Effekt, sondern wird zur Folge der Linearisierung der Wellengleichungen. Wir werden diese linearisierten Gleichungen aus dem Artikel von Levy-Leblond (1967) aufstellen. [Mein fett und kursiv]

2) Abschnitt 4.2 endet (Entschuldigung - ich habe nicht die Zeit, 5 Seiten Mathematik zu scannen und zu korrigieren)

So erhalten wir die Pauli-Gleichung, in der der Term (eħ/2mc) σ.B vorkommt und die die Wechselwirkungsenergie des Magnetfeldes mit dem intrinsischen magnetischen Moment des Elektrons darstellt. Obwohl Pauli diesen Term so in die Schrödinger-Gleichung eingefügt hatte, dass die theoretischen und experimentellen Ergebnisse übereinstimmen, sehen wir, dass der Spin hier automatisch als Folge des Postulats der Linearisierung der Wellengleichung eingeführt wird . Darüber hinaus gibt diese letztere Theorie den korrekten Wert des intrinsischen magnetischen Moments des Elektrons an. [ENDE DER ZITATE]

Nur um das klarzustellen: Hladik behandelt die Dirac-Gleichung viel später, in Kapitel 7, also ist das Thema von Abschnitt 4.2 nicht Diracs Arbeit als solche. [ENDE DES LETZTEN UPDATES]

ERSTE ANTWORT (nach einigen früheren Bearbeitungen): Dies ist ein Versuch, die Frage 4 des OP zu beantworten [die erste Antwort, von wann die Frage "Spin- und Gleichungslinearisierung?" war] im Lichte von:

a) @ACuriousMinds früher Kommentar zur Vagheit von Issams Frage 4 (oben)

b) Michael Atiyahs berühmte (wenn auch etwas gnomische) Aussage über Spinoren und „die Quadratwurzel der Geometrie“ (siehe z. B. die Antwort von JamalS auf physical.stackexchange.com/questions/141995/how-should-i-think-about-the-dirac -Gleichung )

und

c) das bisherige Fehlen einer Klärung seiner Frage 4 durch Issam selbst:

Vielleicht verwendet Issam die natürliche Sprache einfach ziemlich locker. Untersuchen wir es genauer…

Könnte sich „Linearisierung“ in Frage 4 hauptsächlich auf Diracs Entwicklung seiner Gleichung beziehen, indem er sie in Raum und Zeit erster Ordnung zwingt, was zu Spinorlösungen führt, und vielleicht allgemeiner auf „Dirac-Operatoren“? Wenn ja, dann fair genug.

Für die Wick-Rotation hingegen könnte sich Q. 4 auf das Abstandsmaß ds im Minkowski-Raum als „linearisiert“ beziehen, indem die Quadratwurzel aus ( dτ^2+dx^2+dy^2+dz^2 ) gezogen wird ), wenn es in eine euklidische Form umgewandelt wird, indem es = τ gesetzt wird (Multiplikation mit dem Komplex i wirkt als Rotation, daher Wick - Rotation ). Während man diesen metrischen Ausdruck/quadratische Form sehr locker als „linearisiert“ beschreiben könnte (obwohl die einzelnen Komponententerme immer noch quadratisch sind), kann der Nullkegel im Minkowski-Raum dennoch durch Spinoren parametrisiert werden.

Spinoren scheinen also zumindest eine suggestive Verbindung zwischen Dochtrotation und Issams Verwendung von Linearisierung herzustellen.

Und zusätzlich zu dem früheren Vorschlag, dass mehr Nutzen gefunden werden könnte über: physical.stackexchange.com/questions/21261/wick-rotation-and-spinors , @udrv hat kürzlich vorgeschlagen (Kommentar unten), dass Issam die gesuchte Antwort finden könnte, zu Wick-Rotationen von Dirac-Feldern, über arxiv.org/abs/hep-th/9611043 und die dort erwähnte Übersicht älterer Literatur: arxiv.org/abs/hep-th/9608174 (verwiesen von Qmechanic in seinem 1. Kommentar in .. ./21261/...).

Ich hoffe, dies hilft, weitere Diskussionen über die Grundlagen des Spins, seine Beschreibungen und seine Ursprünge anzuregen.