In der (speziellen) relativistischen Quantenmechanik gibt es ein Standardargument, das besagt, dass der (manipulierte) Hilbert-Zustandsraum mit einer projektiven einheitlichen Darstellung ausgestattet sein der Poincaré-Gruppe das geht ungefähr so:
Angenommen, wir haben zwei Beobachter Und Und ist die abbildende Poincaré-Transformation s Koordinatensystem in s-Koordinatensystem. Dann wenn Und versuchen, dasselbe zu messen, werden sie tatsächlich unterschiedliche Zustände finden, Und bzw. hinein (zum Beispiel, wenn Sie zuerst den Vektor finden , drehen Sie Ihre Achsen um und denselben Vektor messen, werden die Zahlen, die Sie jetzt aufzeichnen, sein ). Tatsächlich gibt uns dies eine Karte von Staaten: (es wird nur bis zur Phase gut definiert sein). Nennen wir diese Karte , so dass .
Wenn wir jedoch das Relativitätsprinzip akzeptieren, dass die Physik in zwei Referenzsystemen, die durch eine Poincaré-Transformation miteinander verbunden sind, gleich sein sollte, dann sollten wir das besser haben
Der Satz von Wigner sagt uns dann, dass dies eine projektive einheitliche Darstellung von ergibt An . (Hinweis: Ich erlaube einige Elemente von von Antiunitären vertreten werden.)
Wenn Sie nun versuchen, das gleiche Argument in gekrümmter Raumzeit anzustellen, stoßen Sie auf das offensichtliche Problem, dass Sie im Allgemeinen kein Analogon der Poincaré-Gruppe haben werden (ich glaube, es gibt Raumzeiten, die keine Killing Fields besitzen); es scheint jedoch naiv, als ob das Prinzip der allgemeinen Kovarianz vorschlägt, dass wir die Isometriegruppe der Raumzeit in der obigen Argumentation auf die gesamte Diffeomorphismusgruppe der Raumzeit „aufrüsten“ sollten. (Insbesondere verstehe ich nicht, wie dieses Argument entscheidend die Tatsache nutzt, dass die Koordinatenbasen beider Beobachtungen orthonormal sind.) Das würde dann implizieren, dass der Hilbert-Zustandsraum in einer Quantentheorie der gekrümmten Raumzeit ein Projektiv besitzen sollte einheitliche Darstellung der Diffeomorphismusgruppe dieser Raumzeit. Dies scheint jedoch auf den ersten Blick falsch zu sein.
Wo bricht das Argument also zusammen, wenn Sie die Poincaré-Gruppe in der speziellen Relativitätstheorie durch die Diffeomorphismus-Gruppe in der allgemeinen Relativitätstheorie ersetzen? Oder ist es tatsächlich so, dass wir eine einheitliche Darstellung der gesamten Diffeomorphismusgruppe erhalten sollten?
Nein, Sie wollen keine Darstellungen der Diffeomorphismus-Gruppe aus demselben Grund, aus dem Sie keine Darstellungen der geeichten Lie-Gruppe in Yang-Mills wollen. Die Diffeomorphismen sind eine Eichsymmetrie, keine echte Symmetrie der Theorie. Eichtransformationen wirken trivial auf physikalische Zustände, sie bilden eine redundante Beschreibung eines Zustands auf eine andere ab. Sie sind redundante Beschreibungen der physikalischen Freiheitsgrade, während eine echte Symmetrie der Theorie physikalische Zustände auf andere physikalische Zustände abbildet.
Im nicht-abelschen Yang-Mills-Fall suchen Sie nach Zuständen in Repräsentationen der globalen SU(N)-Gruppe. Solche Transformationen sind keine Eichtransformationen, da der Eichparameter im Unendlichen nicht gegen Null tendiert, wie dies bei Eichtransformationen der Fall sein muss. Diese globalen Transformationen bilden einen physikalischen Zustand auf einen anderen physikalischen Zustand ab. Die Geschichte ist in den meisten verstandenen Gravitationsfällen ähnlich. Die Diffeomorphismen sind Eichtransformationen, aber es gibt eine asymptotische Symmetriegruppe (im Wesentlichen große Eichtransformationen), die die wahre Symmetrie der Theorie darstellt.
Im Fall von asymptotisch flachen Raumzeiten legen Sie beispielsweise einige Randbedingungen für die Metrik im Unendlichen fest. Anschließend betrachten Sie Diffeomorphismen, die diese Randbedingungen unverändert lassen. Sie modifizieren dann im Grunde genommen durch triviale Transformationen, die die Metrik im Unendlichen nicht berühren, und erhalten die BMS-Gruppe. Die BMS-Gruppe ist im Wesentlichen ein halbdirektes Produkt von mit einer unendlich dimensionalen Gruppe von "Supertranslations", von denen 4 mit den 4 globalen Übersetzungen identifiziert werden können. Diese Transformationen lassen die Asymptotik der Metrik fest, wirken aber nicht trivial auf die Randdaten und damit auf die Zustände des Systems. Sie sehen also, dass wir in einer nicht-flachen Raumzeit tatsächlich auf eine noch größere Symmetriegruppe stoßen.
Ähnliche Verfahren können auf andere Raumzeiten angewendet werden. Sie brauchen die Raumzeit nicht, um Tötungsvektoren zu haben (eine generische Raumzeit hat keine), Sie brauchen nur die Raumzeit, um eine bestimmte asymptotische Form zu haben, und dann finden Sie vielleicht eine Gruppe, deren Darstellungen den Hilbert-Raum kontrollieren.
Der Unterschied besteht darin, dass die Poincare-Invarianz eine globale Symmetrie ist und sich daher nicht trivial auf die physikalischen Zustände auswirkt. Dies hat reale körperliche Folgen; Wenn Sie beispielsweise mit einem Übersetzungsoperator auf den Zustand eines Teilchens einwirken, das am Ursprung lokalisiert ist, erhalten Sie den Zustand eines Teilchens, das an einer anderen Position als dem Ursprung lokalisiert ist. Die Poincare-Invarianz besagt, dass diese beiden Teilchen die gleiche Energie haben.
Die Diffeomorphismus-Invarianz hingegen ist eine lokale Eichsymmetrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dies bedeutet, dass es trivial auf unveränderliche Zustände der physikalischen Anzeige einwirkt und keine wirklichen Konsequenzen haben kann. Es handelt sich um eine Redundanz in der Beschreibung. Natürlich können wir eine andere Beschreibung der gleichen Physik erhalten, indem wir mit einer Eichtransformation arbeiten (dh zu einem anderen Beobachterrahmen gehen), aber dies ist nicht so stark wie eine globale Symmetrie, die den Hilbert-Raum in Irreps organisiert.
Wie Sie oben angedeutet haben, bedeutet dies nicht, dass es kein Analogon zur Poincare-Symmetrie für gekrümmte Hintergründe gibt. Beispielsweise ist die globale Isometriegruppe von AdS die Gruppe der globalen konformen Transformationen in einer Dimension weniger. Dies organisiert die Physik von AdS in Irreps der konformen Gruppe.
Übrigens fragen Sie sich vielleicht, was passiert, wenn Sie versuchen, eine Theorie mit lokaler Lorentz-Invarianz aufzustellen. Die Antwort ist, dass Sie die allgemeine Relativitätstheorie erhalten.
Valter Moretti