Warum können die Clebsch-Gordan-Koeffizienten immer reell gewählt werden?

Darüber hinaus ist die Kompaktheit von SO(3) entscheidend. Kompaktheit impliziert, dass die Eigenwerte von$J_\pm$unter$J_z$in der adjungierten Darstellung ($J_z \circ J_\pm = [J_z,J_\pm]=\pm J_\pm$) muss reell sein (damit alle Einparameter-Untergruppen geschlossene Schleifen bilden, ist es notwendig, dass ihre Wirkung einheitlich ist). Da die Eigenwerte der Hebe- und Senkoperatoren (die sich zu einem „Wurzeldiagramm“ für beliebige kompakte einfache Lie-Gruppen verallgemeinern) verwendet werden, um Repräsentationen aus Tensorprodukten genau wie beim SO(3)-Clebsch-Gordan-Verfahren zu projizieren, werden die Elemente der verallgemeinerten Clebsch-Gordan-Übergangsmatrizen sollten für beliebige kompakte Gruppen reell sein, mit der geeigneten Anfangswahl der Phase.

Bei nicht kompakten Lie-Gruppen sind die Dinge komplizierter. Sie dürfen nicht einheitliche Gruppenaktionen haben, zum Beispiel in der Aktion der Lorentz-Gruppe auf normalen 4-Vektoren, und die Darstellungen sind nicht durch die Anforderung für globale Konsistenz eingeschränkt (oder vielmehr, die Anforderung für globale Konsistenz ist geringer). strikt).

Ich habe verschiedene Quellen und meine eigenen Notizen gelesen, basierend auf Quantum Mechanics von Robinette, Seite 493, und es scheint, dass die Tatsache, dass sie als real angesehen werden, entweder angenommen oder wie unten beschrieben erklärt wird.

Die Transformationskoeffizienten$\langle j_1 ,m_1 ; j_2 ,m_2 |j,m; j_1 , j_2\rangle$sind als Clebsch-Gordon (CG)-Koeffizienten (oder Vektorkopplungskoeffizienten) bekannt.

Die Clebsch-Gordan-Matrix ist einheitlich (da sie nur einen Vektor von einer Basis in eine andere transformiert) und ihre Elemente werden per Konvention als reell gewählt, weil die Phase dieses Kets ist$|j,m; j_1, j_2 \rangle$ist willkürlich.

Dies folgt aus den Matrixelementen der Leiteroperatoren$L_\pm$werden ausgewählt, um real zu sein. Es ist möglich, CGs als real zu wählen, wann immer diese Beobachtung zu den Matrixelementen von Leiteroperatoren zutrifft.

Es ist möglich, echte CGs sogar für nicht-kompakte Algebren zu haben: ein elementares Beispiel ist$su(1,1)$. Die Zerlegung des Tensorprodukts von zwei Irreps in der positiven diskreten Reihe ergibt eine unendliche Summe von Irreps in der positiven diskreten Reihe, für die Basiszustände als Produktzustände unter Verwendung von echten Clebschs ausgedrückt werden können. Auch dies ist möglich, da die Matrixelemente von Leiteroperatoren von$su(1,1)$kann als echt gewählt werden.

Grob gesagt ist der „tiefe“ Grund folgender. Da das höchste (oder niedrigste) Gewicht eines irrep durch Anheben (oder Absenken) von Operatoren getötet werden muss, ist dieser höchste Zustand eine echte lineare Kombination von Zuständen, wenn die Anheben-Operatoren echte Matrixelemente haben. Sobald die höchsten Zustände konstruiert sind, werden die anderen Zustände im Irrep durch Anwenden von Abwärtsoperatoren erreicht, die eine echte Kombination von Zustandszuständen erzeugen, wenn ihre Matrixelemente real sind.

Beachten Sie, dass die Phase der Hebe- und Senkoperatoren von$su(2)$oder$su(1,1)$nicht im Prinzip real sein müssen, sondern als real gewählt werden, weil sich daraus Vereinfachungen ergeben.