Tensorproduktdarstellung von SO(3)SO(3)SO(3) im Hilbert-Raum von Teilchen mit Spin SSS

Für ein Teilchen mit Spin S , der Rotationsoperator ist gegeben durch

e ich J ich θ / ℏ
Wo J ich ist die Komponente des Gesamtdrehimpulses entlang der Richtung der Rotationsachse. Der Gesamtdrehimpuls selbst ist gegeben durch
J = L ⊗ ICH S + ICH L ⊗ S
Hier ICH S Und ICH L sind die Identitätsoperatoren in S Und L Leerzeichen bzw. Die obige Form des Gesamtdrehimpulses ergibt sich aus der Tatsache, dass die Kombination von räumlichem mit Spin-Freiheitsgrad durch ein Tensorprodukt zwischen den jeweiligen Räumen realisiert wird und aus der Lie-Algebra der Rotationsgruppe S Ö ( 3 ) .

Meine erste Frage ist, kann ich folgendes schreiben

e ich J ich θ / ℏ = e ich L ich θ / ℏ ⊗ e ich S ich θ / ℏ ?
Die RHS ist nichts, was ich mir persönlich ausgedacht habe, ich habe sie in meinem Lehrbuch gefunden, aber der Autor bezieht sich nicht auf ihre Beziehung zu dem häufigeren Rotationsoperator, der die LHS ist.

Die zweite Frage betrifft die Darstellung der Rotationsgruppe S Ö ( 3 ) in diesem Tensorproduktraum, was schließlich zur RHS der obigen Gleichung für den Rotationsoperator führt. Nach dem, was ich gelesen habe, ist ein Tensorprodukt-Darstellungsraum ein Tensorprodukt zwischen zwei verschiedenen Darstellungsräumen derselben Gruppe, hier der S Ö ( 3 ) Gruppe. Der Tensorprodukt-Darstellungsraum für ein Teilchen mit Spin S wird dann durch gegeben H = Π L ( R ( θ ) ) ⊗ Π S ( R ( θ ) ) , Wo R ( θ ) ∈ S Ö ( 3 ) . Π L ( R ( θ ) ) ist der Darstellungsraum von S Ö ( 3 ) In L 2 ( R 3 ) , was leicht zu beschreiben ist - in diesem Raum L = R × P . Meine zweite Frage ist die Darstellung von S Ö ( 3 ) im Spinraum, der ist C 2 S + 1 . Wie sieht es aus und wie kann man es beschreiben? Ich bin hier ratlos, weil die Standarddarstellung von S Ö ( 3 ) Ist 3 × 3 orthogonale Matrix, während alle Operatoren in C 2 S + 1 muss sein ( 2 S + 1 ) × ( 2 S + 1 ) .

Zu deiner ersten Frage [ L ich , S ich ] = 0 (folgt direkt aus Ihrer zweiten Gleichung), also ist es vollkommen in Ordnung, die Exponentialfunktion auf diese Weise aufzubrechen, behandeln Sie sie einfach so, als wären sie normale Zahlen.

Antworten (1)

Das Problem ist, dass die "Spin-Darstellung von S Ö ( 3 ) " ist keine Darstellung von S Ö ( 3 ) überhaupt, aber eine Darstellung seiner doppelten Abdeckung S U ( 2 ) (siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group ). Da schreiben wir manchmal Darstellungen in Form von Infinitesimalgeneratoren (also als Darstellung der Lie-Algebra der betrachteten Lie-Gruppe) und da S Ö ( 3 ) Und S U ( 2 ) auf der infinitesimalen Ebene gleich sind (ihre Lie-Algebren sind gleich), die Unterscheidung zwischen den Gruppen führt zu keiner Verwirrung, wenn die Spindarstellung in Form von infinitesimalen Generatoren der Rotationsgruppe geschrieben wird, als die Sie geschrieben haben J ich . Wenn Sie jedoch versuchen, die infinitesimalen Generatoren zu potenzieren S ich einer der Spin-Darstellungen zu einer Darstellung von S Ö ( 3 ) Sie werden auf Probleme stoßen! Insbesondere eine Drehung um 360 Grad, was gleichbedeutend mit gar keiner Drehung sein sollte, wirkt sich aus − 1 auf die Darstellung, was keinen Sinn macht.

Im Allgemeinen gibt es keinen Grund zu erwarten S Ö ( 3 ) irgendwelche interessanten Darstellungen auf den geraddimensionalen Vektorräumen der Spindarstellungen zu haben. Tatsächlich können Sie zeigen, dass jede solche Darstellung als direkte Summe von Darstellungen auf ungeraddimensionalen Vektorräumen zerfällt. Wann zum Beispiel S = 1 / 2 , die einzige Darstellung von S Ö ( 3 ) auf dem 2-dimensionalen Vektorraum C 2 ist die triviale Darstellung, bei der jedes Element von S Ö ( 3 ) wirkt durch die Identität 2 mal 2 Matrix. Jedoch, S U ( 2 ) weist eine natürliche Darstellung auf C 2 , was die Spindarstellung ist.

Die Sache ist, dass in meinem Buch (und wahrscheinlich in allen anderen Büchern) der Autor ein Tensorprodukt zwischen zwei verschiedenen Darstellungen derselben Gruppe diskutiert. Wenn ich nun ein Teilchen im euklidischen Raum mit Spin betrachte, ist der Rotationsoperator (SO(3)) auf dem entsprechenden Hilbert-Raum gegeben durch e ich J ich θ = e ich L ich θ ⊗ e ich S ich θ . Auch hier sind laut meinem Buch die beiden Operatoren im RHS eigentlich zwei verschiedene Darstellungen von SO(3), eine in L 2 ( R 3 ) und ein weiterer im Spin-Raum.
Übrigens wie konnte man auf die Darstellung von SO(3) kommen C 2 die triviale Darstellung sein? Ist diese Definition oder etwas, das man beweisen kann?
Das einzige, was mir einfällt, ist die Notation e ich S ich θ bedeutet die potenzierte Darstellung, die in diesem Fall eine Darstellung von sein wird S U ( 2 ) . Die übliche Darstellung e ich L ich θ definiert auch eine Darstellung von S U ( 2 ) da gibt es die doppelte deckungskarte S U ( 2 ) → S Ö ( 3 ) . Die Darstellungen von S Ö ( 3 ) kann in eine direkte Summe irreduzibler Repräsentationen zerlegt werden, die alle ungeraddimensional sind. Tatsächlich ist die l -dimensionale Darstellung kommt aus der Aktion von S Ö ( 3 ) auf der sphärischen Harmonischen mit Eigenwert − l ( l + 1 ) .
Entschuldigung, die irreduziblen Darstellungen, die ich oben erwähnt habe, sind 2 l + 1 -dimensional.
Tensorproduktdarstellung von SO(3)SO(3)SO(3) im Hilbert-Raum von Teilchen mit Spin SSS
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