Gibt es einen Zusammenhang zwischen Spin und der Spingruppe?

In der Quantenmechanik sind die relevanten Darstellungen von Symmetriegruppen auf dem Zustandsraum nicht unsere übliche lineare Darstellung, sondern projektive Darstellungen auf dem Hilbert-Raum. Die projektiven Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Gruppe - wie der Rotationsgruppe$\mathrm{SO}(n)$- stehen in Bijektion zu linearen Darstellungen ihrer universellen Hülle. Für eine ausführliche Erörterung und Herleitung dieser Tatsachen siehe dieses Q&A von mir . Die "Intuition" für die Erscheinung der projektiven Darstellung ist, dass Zustände wirklich keine Vektoren, sondern Strahlen im Hilbert-Raum sind und daher "Phasen keine Rolle spielen".

Jetzt die Rotationsgruppe rein$n > 2$Dimensionen hat grundlegende Gruppe$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, was bedeutet, dass seine universelle Abdeckung nur eine doppelte Abdeckung ist. Daher ein$n>2$Dimensionen ist die Spingruppe per Definition ihre doppelte Hülle und daher die Gruppe, die wir linear auf dem Hilbert-Raum darstellen müssen, um eine projektive Darstellung der Rotationsgruppe zu erhalten. Unser geliebter halbzahliger "Spin"$s$ist jetzt nichts als die Zahl, die eine irreduzible lineare Darstellung eindeutig kennzeichnet$\mathrm{Spin}(3)$von$L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = s(s+1)$.

Die Spin-Gruppe ist mit halben Spin-Objekten verwandt, die als Spinoren bezeichnet werden. Wenn Sie einen Spinor um 360 Grad drehen, erhalten Sie das Negativ des Spinors zurück, mit dem Sie begonnen haben. Nun wäre es schön, wenn Sie die Aktion dieser Drehung darstellen könnten, indem Sie sagen, dass ein Element von$SO(n)$wirkt auf den Spinor. Dies ist jedoch nicht möglich, da eine Drehung um 360 Grad dasselbe ist wie das Identitätselement von$SO(n)$, und daher muss die Wirkung dieser Rotation darin bestehen, den Spinor im Gegensatz zu dem, was wir wissen, invariant zu lassen. Daher gibt es keine Möglichkeit, die Aktion genau darzustellen$SO(n)$Drehungen auf einem Spinor.

Wenn Sie jedoch eine größere Gruppe hatten, bei der eine Drehung um 360 Grad Sie nicht zum Identitätselement zurückführte, können Sie möglicherweise eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Elementen dieser größeren Gruppe und der linearen Transformation herstellen, die sie verursacht auf Spinoren.

Die Spinngruppe ist diese größere Gruppe. Da die Schleudergruppe eine doppelte Abdeckung ist$SO(n)$, führt eine Drehung um 360 Grad nur zur Hälfte um die Spin-Gruppe herum, sodass das Gruppenelement, das einer 360-Grad-Drehung entspricht, nicht gezwungen ist, als Identität auf dem Spinor zu fungieren, sondern stattdessen den Spinor mit multiplizieren kann$-1$, so wie es sollte.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie aus allen endlichen Drehungen, die auf einen Spinor angewendet werden können, eine Gruppe bilden können. Diese Gruppe ist es nicht$SO(n)$, da die Identitätsdrehung und eine 360-Grad-Drehung unterschiedlich auf den Spinor einwirken, in jedoch gleich sind$SO(n)$. Die Gruppe der endlichen Rotationen, die auf einen Spinor angewendet werden können, muss also größer als sein$SO(n)$. Tatsächlich stellt sich heraus, dass diese Gruppe die Spin-Gruppe ist, die eine doppelte Abdeckung von ist$SO(n)$