Wie könnte S2S2\textbf{S}^2 kein Vielfaches der Identität sein?

Ich studiere die Quantenmechanik mit Sakurais Buch ( Modern Quantum Mechanics , 2nd Edition) und bin in Bezug auf den Operator auf Folgendes gestoßen S 2 :

Wie in Kapitel 3 gezeigt wird, für Spins höher als 1 2 , S 2 kein Vielfaches des Identitätsoperators mehr ist; Jedoch, [ S 2 , S ich ] = 0 gilt immer noch (z ich = X , j , z ). (Seite 28)

Das Quadrat des Gesamtspins, das mit den Komponenten pendelt, ist mir angenehm. Aber der erste Teil verwirrt mich nur: für ein System mit Spin S , stimmt das nicht

S 2 | ⋅ ⟩ = ℏ 2 S ( S + 1 ) | ⋅ ⟩

ob oder nicht S = 1 2 ? Oder verstehe ich die Situation grundlegend falsch? (Ich habe Kapitel 3 durchgelesen, aber anscheinend habe ich immer wieder den Teil verpasst, in dem das Buch darauf eingeht.)

Ich nehme an, dass Sakurai sagen will, dass der Hilbert-Raum reduzierbar sein kann, dh eine direkte Summe von S U ( 2 ) Darstellungen mit unterschiedlichen Werten von S , So S ( S + 1 ) ist für die Unterräume unterschiedlich, also die Matrix von S 2 ist kein Vielfaches der Einheitsmatrix (mit Universalfaktor).
Ach, komm schon , Qmechanic, warum macht das Zeug keinen Spaß? Sie haben es sogar in Ihrem Namen geschrieben!
Und danke @Luboš Motl, ich denke, das beantwortet es ungefähr. Tut mir leid, dass ich dicht bin. Möchten Sie es als Antwort posten?
Es macht zwar Spaß, aber leider sind nur 5 Tags erlaubt, vgl. physical.stackexchange.com/posts/24698/revisions
Ja, das ist mir bewusst. Es war ein Scherz.
su(n) macht immer Spaß. Übrigens. Ich würde "the Operator S^2" in den Titel schreiben, weil ich eine Kugel oder mindestens zwei Kreise erwartet hatte.
@LubošMotl: Wenn du den Kommentar zu einer Antwort machst, lösche ich meinen. Ich wollte die Frage einfach nicht stehen lassen.

Antworten (1)

Es ist ein Vielfaches der Identität, vorausgesetzt, Sie haben einen festen Spin, der durch den Kontext impliziert wird. Sie haben also absolut recht, und Sakurai ist gerade ein Tippfehler oder ein Fehler unterlaufen – er könnte das gemeint haben S z 2 kein Vielfaches der Identität ist, oder er könnte eine nicht-irduzible Darstellung im Sinn gehabt haben. In jedem Fall ist es bestenfalls verwirrend und höchstwahrscheinlich einfach falsch.

Dies ist ein Platzhalter für eine Antwort, bis Lubos beschließt, seinen Kommentar in eine Antwort umzuwandeln – es beantwortet die Frage, also sollte es kein Kommentar sein. Aber es sieht so aus, als hätte Sakurai es nur vermasselt, nicht dass er etwas anderes gemeint hätte.
Ich habe letzte Nacht 10 Minuten damit verbracht, online durch Sakurai Kapitel 3 zu scrollen und nach der versprochenen Erklärung zu suchen :(
@twistor59: Mach dir keine Sorgen, Leute machen dumme Fehler. Sakurai versteht das vollkommen, aber manchmal wird man beim Unterrichten durch den Kreidestaub verwirrt und sagt dumme Sachen. Es gibt keinen Grund, warum er das sagen sollte.
Ich habe darauf gewartet, dass er seinen Kommentar in eine Antwort umwandelt, aber da es anscheinend nicht passiert, habe ich einige Bonuspunkte.
Wie könnte S2S2\textbf{S}^2 kein Vielfaches der Identität sein?
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