Tensorprodukt zweier verschiedener Pauli-Matrizen σ2⊗η1σ2⊗η1\sigma_2\otimes\eta_1

Question

Tensorprodukt zweier verschiedener Pauli-Matrizen σ2⊗η1σ2⊗η1\sigma_2\otimes\eta_1

Physik
Gruppentheorie
Tensorkalkül
Quantenmechanik
Gruppendarstellungen
Repräsentationstheorie

Physik_Mathematik

Ich löse Problem 3.D in H. Georgi Lie Algebra usw. zum Spaß, wo man die Matrixelemente des direkten Produkts berechnen soll $\sigma_2\otimes\eta_1$ Wo $[\sigma_2]_{ij}\text{ and }[\eta_1]_{xy}$ sind zwei verschiedene Pauli-Matrizen in zwei verschiedenen zweidimensionalen Räumen.

Definition der Basis in unserem vierdimensionalen Tensorproduktraum

\begin{matrix} (1) & | 1 ⟩ = | ich = 1 ⟩ | X = 1 ⟩ | 2 ⟩ = | ich = 1 ⟩ | X = 2 ⟩ | 3 ⟩ = | ich = 2 ⟩ | X = 1 ⟩ | 4 ⟩ = | ich = 2 ⟩ | X = 2 ⟩ \end{matrix}

$\tag{1}\left|1\right\rangle = \left|i=1\right\rangle\left|x=1\right\rangle\\ \left|2\right\rangle = \left|i=1\right\rangle\left|x=2\right\rangle\\ \left|3\right\rangle = \left|i=2\right\rangle\left|x=1\right\rangle\\ \left|4\right\rangle = \left|i=2\right\rangle\left|x=2\right\rangle$

Jetzt wissen wir, dass, wenn wir Repräsentationen multiplizieren, die Erzeuger im Sinne von addieren

\begin{matrix} (2) & [J_{A}^{1 \otimes 2} (G)]_{J j ich X} = [J_{A}^{1}]_{J ich} δ_{j X} + δ_{J ich} [J_{A}^{2}]_{j X}, \end{matrix}

$\tag{2}[J_a^{1\otimes2}(g)]_{jyix} = [J_a^1]_{ji}\delta_{yx} +\delta_{ji}[J_a^2]_{yx},$ bei dem die

J

$J$ s sind die Generatoren, die den verschiedenen Darstellungen entsprechen

D_{1}

$D_1$ Und

D_{2}

$D_2$ (

g

$g$ steht für die Gruppenelemente).

Mit all dem finde ich das auf der Grundlage von $(1)$ die Matrixdarstellung des Tensorprodukts ist gegeben durch

\begin{matrix} (3) & σ_{2} \otimes η_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & - ich & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - ich \\ ich & 0 & 0 & 1 \\ 0 & ich & 1 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{3}\sigma_2\otimes\eta_1 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{1} & -i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -i \\ i & 0 & 0 & 1 \\ 0 & i & 1 & 0 \end{pmatrix}$

(Der Mutige $\mathbf{1}$ ist nur Notation, siehe unten!) Ich bitte Sie nicht, die Berechnungen für mich zu wiederholen, tut es aber $(3)$ Sinn ergeben?

Anhang. Meine Berechnungen wurden auf folgende Weise durchgeführt [unter Verwendung von Gleichung $(2)$ ]:

\begin{matrix} (4) & ⟨ 1 | σ_{2} \otimes η_{1} | 1 ⟩ = ⟨ J = 1, j = 1 | σ_{2} \otimes η_{1} | ich = 1, X = 1 ⟩ = [σ_{2}]_{11} δ_{11} + δ_{11} [η_{1}]_{11} = 0. \end{matrix}

$\tag{4}\langle 1| \sigma_2\otimes \eta_1 |1\rangle = \\ \langle j=1,y=1| \sigma_2\otimes \eta_1 |i=1,x=1\rangle \\ = [\sigma_2]_{11}\delta_{11}+\delta_{11}[\eta_1]_{11} \\ = 0.$ Ähnlich für zB

\begin{matrix} (5) & ⟨ 1 | σ_{2} \otimes η_{1} | 2 ⟩ = ⟨ J = 1, j = 1 | σ_{2} \otimes η_{1} | ich = 1, X = 2 ⟩ = [σ_{2}]_{11} δ_{12} + δ_{11} [η_{1}]_{12} = 1. \end{matrix}

$\tag{5} \langle 1| \sigma_2\otimes \eta_1 |2\rangle = \\ \langle j=1,y=1| \sigma_2\otimes \eta_1 |i=1,x=2\rangle \\ = [\sigma_2]_{11}\delta_{12}+\delta_{11}[\eta_1]_{12} \\ = 1.$ So geht's fett

1

$\mathbf{1}$ wurde erhalten.

So sind meine Berechnungen $(4), (5)$ total falsch?

Die Pauli-Matrizen

\begin{aligned} σ_{1} & = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ σ_{2} & = (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix}) \\ σ_{3} & = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \\ \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \\ \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \,. \end{align}$

Phönix87

siehe en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product

Antworten (3)

Tensorprodukt zweier verschiedener Pauli-Matrizen σ2⊗η1σ2⊗η1\sigma_2\otimes\eta_1

jabirali · Answer 1

Ich denke, es ist einfacher, direkte Produkte zu berechnen, wenn Sie die Matrizen in Komponentenform schreiben; Im Grunde müssen Sie nur jedes Element der ersten Matrix mit der gesamten zweiten Matrix multiplizieren:

A \otimes B = [\begin{matrix} A_{11} B & \dots & A_{1 N} B \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{N 1} B & \dots & A_{N N} B \end{matrix}]

$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} A_{11} \mathbf{B} & \cdots & A_{1n} \mathbf{B} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} \mathbf{B} & \cdots & A_{nn} \mathbf{B}\end{bmatrix}$ In Ihrem Fall mit den Pauli-Matrizen

σ_{2}

$\boldsymbol{\sigma}_2$ Und

η_{1}

$\boldsymbol{\eta}_1$ , wir bekommen:

σ_{2} \otimes η_{1} = [\begin{matrix} 0 & - ich η_{1} \\ ich η_{1} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - ich \\ 0 & 0 & - ich & 0 \\ 0 & ich & 0 & 0 \\ ich & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\boldsymbol{\sigma}_2 \otimes \boldsymbol{\eta}_1 = \begin{bmatrix} 0 & -i\boldsymbol{\eta}_1 \\ i\boldsymbol{\eta}_1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Das direkte Produkt $\boldsymbol{\sigma}_2\otimes\boldsymbol{\eta}_1$ sollte gleich sein, egal mit welcher Methode Sie es berechnen. Daher glaube ich, dass Ihre Gleichung (3) falsch ist, was implizieren würde, dass (5) auch falsch ist. Leider weiß ich nicht viel über die formale Lügentheorie, daher kann ich nicht genau sagen, was schief gelaufen ist.
Ja eq 2 kommt aus dem Buch und die Ableitung sieht gültig aus.
Denken Sie daran, dass Ihre Antwort in die Basis (1) geschrieben werden sollte.

Kosmas Zachos · Answer 2

Ihre Gleichung (2) ist im Prinzip richtig: Sie ist das Standard- Koprodukt von Lie-Algebren, aber sie ist irrelevant und hätte hier niemals für irgendetwas verwendet werden sollen. Die Sprache hat dich verwirrt. Es sollte lesen

J^{A} = J^{A} \otimes 1 1 + 1 1 \otimes J^{A} .

$\boldsymbol{J^a} = \boldsymbol{j^a} \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \boldsymbol{j^a} .$ Wenn Sie es auf zwei Dublett-Wiederholungen anwenden wollten, sollten Sie dieselbe Pauli -Matrix verwenden

σ^{a}

$\sigma^a$ für beide

j^{a}

$j^a$ s, und mit dem gleichen Winkel multipliziert und potenziert, hätten Sie gesehen, wie schön sich die Gruppenelemente in den jeweiligen Unterräumen 1 und 2 tensoren:

\exp (i θ^{a} J^{a}) =

$\exp (i\theta^a \boldsymbol{J}^a)=$

\exp (i θ^{a} (j^{a} \otimes 1 1 + 1 1 \otimes j^{a})) = \exp (i θ^{a} (j^{a} \otimes 1 1)) \exp (i θ^{a} (1 1 \otimes j^{a})) = \exp (i θ^{a} j^{a}) \otimes \exp (i θ^{a} j^{a})

$\exp(i\theta^a(\boldsymbol{j^a} \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \boldsymbol{j^a}))=\exp(i\theta^a(\boldsymbol{j^a} \otimes 1\!\!1)) \exp(i\theta^a (1\!\!1\otimes \boldsymbol{j^a}))= \exp(i\theta^a \boldsymbol{j^a}) \otimes\exp(i\theta^a\boldsymbol{j^a} )$ .

Stattdessen forderte Sie Ihre Aufgabe auf, das Tensorprodukt zweier verschiedener Matrizen einfach mechanisch auszuwerten, um zu sehen, ob Sie die Regeln verstehen, die @jabirali richtig angewendet hat, um die richtige Antwort zu erhalten , die Sie finden sollten. Ihre Gleichung (3) ist also großartig falsch: Sie haben ausgewertet $\boldsymbol{\sigma_2} \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \boldsymbol{\sigma_1}$ . jabirali verwendet tatsächlich genau Ihre Konventionen, Basis (1).

Als weiteren Erkundungsausflug könnten Sie seine und Ihre Regeln „rechte Matrix in Einträge der linken Matrix“, „links-grob, rechts-fein“ verwenden, um (2) für eine gemeinsame Matrix zu berechnen, z $\sigma^2$ , und dann CG drehen/reduzieren Sie die 4x4-Matrix, um sie zu finden $J_2$ in der Triplett-Darstellung (3x3-Block) und ein Singulett (0! im verbleibenden 1x1-Block).

mho · Answer 3

mho

Jede Pauli-Matrix hat zwei Nicht-Null-Elemente. Daher hat das direkte Produkt von Pauli-Matrizen vier Nicht-Null-Elemente. Ihre Antwort hat leider acht.

Physik_Mathematik

Also ist meine Gleichung 5 falsch?

mho

Nein, es ist nur eine falsche Gleichung anzuwenden. Die Addition von Generatoren ist wie die Addition von Drehimpulsen. Ich habe das Buch von Georgi nicht gelesen, aber diese Übung scheint etwas zu sein, das Sie mit dem direkten Produktbereich vertraut machen soll. Ein typisches QM-Buch würde dann erklären, wie dieser Produktraum als direkte Summe von Spin-0- und Spin-1-Räumen dargestellt werden kann.

Physik_Mathematik

Ich bitte um die Antwort in der Basis

(1)

$(1)$ .

Tensorprodukt zweier verschiedener Pauli-Matrizen σ2⊗η1σ2⊗η1\sigma_2\otimes\eta_1

Physik_Mathematik

Phönix87

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jabirali

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Kosmas Zachos

mho

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mho

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