Nichttriviale Phase für projektive SO(3)SO(3)SO(3)-Darstellung? Einfache Verbundenheit und ihre Beziehung zum Cocycle

Wenn ich es richtig verstehe, dann impliziert das wiederum alle Phasen$\Phi(g_1,g_2)$von$SO(3)$Repräsentation erfüllt nicht die Relation (2) und kann daher nicht auf eine gewöhnliche Repräsentation reduziert werden, indem etwas wie (3) definiert wird.

Es impliziert, dass für diese projektive Darstellung von$SO(3)$, Sie können keine Funktion finden$\alpha$so dass (2) für alle gilt$g_1, g_2$.

Können wir die Phase aufschreiben?$\Phi(g_1,g_2)$für ein Projektiv$SO(3)$Darstellung dh als Funktion von$g_1$Und$g_2$(egal welche zwei$SO(3)$Gruppenelemente)?

Wenn Sie die projektive Darstellung (explizit) kennen, können Sie natürlich die Phase ablesen. Nehmen Sie zum Beispiel die Spinordarstellung von$SO(3)$. Lassen$R_\pi$sei eine Drehung um 180 Grad,$R_\pi R_\pi = 1$. Wie wir wissen,

Welche Beziehung besteht zwischen der einfachen Verbundenheit einer Gruppe und der Phase?$\Phi(g_1,g_2)$. Was ist insbesondere die Verbindung zwischen Pfaden in einer Gruppenmannigfaltigkeit und den Phasen?$\Phi(g_1,g_2)$.

Lassen Sie mich zunächst die vollständige Version des Satzes angeben, den Sie in Ihrer Frage zitiert haben: Nicht-triviale projektive Darstellungen können auf genau zwei Arten entstehen.

1. Algebraisch, wenn die zentrale Ladung der Lie-Algebra nicht entfernt werden kann. (Ich werde darauf nicht weiter eingehen).
2. Geometrisch, wenn die Gruppe nicht einfach zusammenhängend ist.

Mit anderen Worten, wenn die zentrale Ladung entfernt werden kann und die Gruppe einfach angeschlossen wird, alle möglichen Phasen$\Phi(g_1,g_2)$sind im trivialen Zwei-Kozyklus.

Und um Ihre Frage zu beantworten, können wir die Aussage etwas präzisieren: Wenn die zentrale Ladung entfernt werden kann, dann ist die Menge der möglichen Phasen (bis hin zu trivialen Zweier-Kozyklen) gleich der Fundamentalgruppe der Lie-Gruppe.

Warum ist es dann so , wenn zwei Pfade kontinuierlich ineinander verformbar sind oder geschlossene Schleifen kontinuierlich auf einen Punkt zusammengeschrumpft werden können?$\Phi$erfülle immer (2) und wenn nicht,$\Phi$kann (2) nicht erfüllen? Bitte verwenden Sie nach Möglichkeit nicht zu viele Fachjargons, da ich gerade erst angefangen habe, diese Dinge selbst zu lernen.

Weinberg (The Quantum Theory of Fields, Bd. 1) widmet diesem Beweis ein ganzes Kapitel (2, Anhang B). Am Ende läuft es auf das Lemma von Poincaré hinaus: In einem einfach zusammenhängenden Raum, wenn ein Vektorfeld$v$erfüllt$\partial_b v_a = \partial_a v_b$, dann kann es als Gradient eines Potentials geschrieben werden:$v_a = \partial_a \varphi$. Bei geeigneter Wahl (siehe Weinberg) von$v$, damit können wir die Aussage beweisen.

1. Wenn Sie die Drehungen als Euler-Winkel darstellen$(\alpha,\beta,\gamma)$, die Phase$\phi$ist die Funktion, die ergibt$1$solange die (naive) zusammensetzung die beiden drehungen nicht überschreitet$2\pi$in jedem Winkel und$-1$für jeden Winkel, der überschreitet$2\pi$. Beachten Sie, dass dies eine eindeutig diskontinuierliche Funktion ist.

2. Ich erörtere dies im letzten Abschnitt dieser Antwort von mir . Das Ergebnis ist, wenn$G$ist nicht einfach verbunden, sondern hat eine universelle Deckgruppe$\tilde{G}$das ist eine zentrale Erweiterung von$G$von$\pi_1(G)$. Einheitliche Darstellungen$\tilde{\rho} : \tilde{G}\to \mathrm{U}(\mathcal{H})$von zentralen Erweiterungen steigen immer zu projektiven Darstellungen ab$\rho : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$der ursprünglichen Gruppe, da der zentrale Teil in die Mitte abgebildet werden muss$\mathrm{U}(1)\subset\mathrm{U}(\mathcal{H})$, und wird daher beim Übergang zum Quotienten trivial$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, da alle Urbilder$\pi^{-1}(g)$eines Elements$g\in G$unter der Projektion$\pi:\tilde{G}\to G$auf denselben Punkt gemappt werden$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, So$\rho = \tilde{\rho}\circ\pi^{-1}$ist wohldefiniert.

3. Das hat eigentlich nichts mit den Pfaden als solchen zu tun, sondern mit der allgemeinen Überdeckungstheorie . Ein hinreichend schöner topologischer Raum$G$hat immer eine universelle Abdeckung$\tilde{G}$die in einer genauen Reihenfolge sitzt$\pi_1(G)\to \tilde{G} \to G$, Wenn$G$ist eine Lügengruppe,$\pi_1(G)$ist abelsch und sein Bild ist zentral in$\tilde{G}$, die Universalabdeckung ist also eine zentrale Verlängerung. Umgekehrt eine zentrale Verlängerung gegeben$\mathbb{Z}_n\to\tilde{G}\to G$, wir haben das$\tilde{G}\to G$ist eine Bedeckung, und die allgemeine Klassifikation von Bedeckungen sagt, dass solche Bedeckungen in Bijektion zu Untergruppen von sind$\pi_1(G)$. Also wenn$G$einfach verbunden ist, hat es keine solchen diskreten zentralen Erweiterungen, und wenn dies nicht der Fall ist, gibt es eine universelle Abdeckung, deren lineare Darstellungen die gleichen sind wie$G$'s projektiven Darstellungen, wenn es keine glatten zentralen Erweiterungen von gibt$\mathrm{U}(1)$(dh keine kontinuierlichen nicht-trivialen Kozyklen).

   Beachten Sie, dass die Anweisung, nach der Sie fragen, dh "If$G$ist dann einfach verbunden$\phi$ist trivial (erfüllt Ihre Gleichung 2) "ist falsch: Selbst einfach verbundene Gruppen können nicht-triviale Kozyklen (äquivalent nicht-triviale zentrale Erweiterungen) haben, sie können einfach keine diskreten zentralen Erweiterungen oder gleichwertig diskontinuierliche Kozyklen haben . Die Physik die Literatur ignoriert dies normalerweise, bis es relevant wird (z. B. für die Virasoro-Algebra/Gruppe), da die halbeinfachen Lie-Gruppen, mit denen wir uns normalerweise befassen, solche haben$H^2(G,\mathrm{U}(1)) = 0$für die Gruppe der glatten Kozyklen Modulo-Kogrenzbeziehungen durch Whiteheads zweites Lemma.