Abschnitt A: Die Verbindung der Transformationen des Komplexes3 × 3
Antisymmetrische Tensoren und ihr repräsentativer Komplex3
-Vektoren.
LassenU
sei eine spezielle unitäre Transformation inSU( 3 )
vertreten durch die3 × 3
komplexe Matrix
U=⎡⎣⎢u11u21u31u12u22u32u13u23u33⎤⎦⎥(A-01)
Seit
UU∗= ich
wir haben
U∗=U− 1
, So
U∗=(U¯¯¯¯)T=UT¯¯¯¯¯¯¯⎡⎣⎢u¯¯¯11u¯¯¯12u¯¯¯13u¯¯¯21u¯¯¯22u¯¯¯23u¯¯¯31u¯¯¯32u¯¯¯33⎤⎦⎥=U− 1(A-02)
Wo
u¯¯¯
= das komplexe Konjugat von
u
Und
UT
die transponierte Matrix von
U
. Von
det ( U) = 1
wir haben
U− 1=⎡⎣⎢(u22u33−u23u32)(u23u31−u21u33)(u21u32−u22u31)(u13u32−u12u33)(u11u33−u13u31)(u12u31−u11u32)(u12u23−u13u22)(u13u21−u11u23)(u11u22−u12u21)⎤⎦⎥(A-03)
U− 1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢+∣∣∣u22u32u23u33∣∣∣−∣∣∣u21u31u23u33∣∣∣+∣∣∣u21u31u22u32∣∣∣−∣∣∣u12u32u13u33∣∣∣+∣∣∣u11u31u13u33∣∣∣−∣∣∣u11u31u12u32∣∣∣+∣∣∣u12u22u13u23∣∣∣−∣∣∣u11u21u13u23∣∣∣+∣∣∣u11u21u12u22∣∣∣⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(A-03')
Durch die Gleichungen (A-02) und (A-03) die komplexe Konjugierte der ElementeU
werden durch die Elemente selbst ausgedrückt
⎡⎣⎢u¯¯¯11u¯¯¯12u¯¯¯13u¯¯¯21u¯¯¯22u¯¯¯23u¯¯¯31u¯¯¯32u¯¯¯33⎤⎦⎥=⎡⎣⎢(u22u33−u23u32)(u23u31−u21u33)(u21u32−u22u31)(u32u13−u33u12)(u33u11−u31u13)(u31u12−u32u11)(u12u23−u13u22)(u13u21−u11u23)(u11u22−u12u21)⎤⎦⎥(A-04)
das ist
u¯¯¯11=u22u33−u23u32
,
u¯¯¯21=u32u13−u33u12
... usw.
Nun lassω = (ω1,ω2,ω3)
ein Komplex3
-Vektor einC3
UndΩ
die antisymmetrische Matrix, die die Operation darstelltω ×
Ω =⎡⎣⎢0ω3−ω2−ω30ω1ω2−ω10⎤⎦⎥= ω ×(A-05)
Nehme an, dass
ω
umgewandelt wird
ω'
unter einer speziellen einheitlichen Transformation
U∈ SU( 3 )
ω'= uω(A-06)
Und
Ω'
die antisymmetrische Matrix, die die Operation darstellt
ω'×
Ω'=⎡⎣⎢0ω'3−ω'2−ω'30ω'1ω'2−ω'10⎤⎦⎥=ω'×(A-07)
Wir bestimmen jetzt die Beziehung zwischen den antisymmetrischen Matrizen
Ω'
Und
Ω
. Für alle
z ∈C3
Ω'z =ω'× z = Uω × z = Uω × UU∗z = [det ( U) ⋅(U− 1)T] ( ω ×U∗z )(A-08)
Für die letzte nach rechts Gleichheit in (A-08) verwenden wir die Identität
M a × M b = [det ( M ) ⋅(M− 1)T] ( a × b )(B-02)
freigelegt und bewiesen in Abschnitt B.
Seitdet ( U) = 1
UndU− 1=U∗
[ det ( U) ⋅(U− 1)T] ( ω ×U∗z )= [(U∗)T( ω × )U∗] z = [(U∗)TΩU∗] z = [U¯¯¯¯Ω(U¯¯¯¯)T] z
also endlich
ω'= uω⟹Ω'=(U∗)TΩU∗=U¯¯¯¯Ω(U¯¯¯¯)T(A-09)
Seit
U¯¯¯¯
ist auch eine spezielle unitäre Transformation,
U¯¯¯¯∈ SU( 3 )
, ersetzen
U
von
U¯¯¯¯
in obiger Gleichung (A-09) haben wir
ω'=U¯¯¯¯ω⟹Ω'= uΩUT(A-10)
Beachten Sie, dass die beiden Gleichungen in (A-10) im folgenden Sinne äquivalent sind: Wenn
Ω
ist ein
3 × 3
antisymmetrische Matrix, die das Produkt darstellt
ω ×
Wo
ω ∈C3
, Und
Ω'= uΩUT
,Wo
U∈ SU( 3 )
, Dann
Ω'
ist auch ein
3 × 3
Antisymmetrische Matrix
Nachweisen : (Ω')T=( uΩUT)T=(UT)TΩTUT= u( − Ω )UT= − UΩUT= −Ω'
und stellt das Produkt dar
ω'×
, Wo
ω'=U¯¯¯¯ω
.
Ω'= uΩUT⟺ω'=U¯¯¯¯ω(A-10')
Dies wird auch durch die Gleichsetzung durch Elemente in der Gleichung bestätigt
⎡⎣⎢0ω'3−ω'2−ω'30ω'1ω'2−ω'10⎤⎦⎥=⎡⎣⎢u11u21u31u12u22u32u13u23u33⎤⎦⎥⎡⎣⎢0ω3−ω2−ω30ω1ω2−ω10⎤⎦⎥⎡⎣⎢u11u12u13u21u22u23u31u32u33⎤⎦⎥
nachgeben
⎡⎣⎢ω'1ω'2ω'3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢(u22u33−u23u32)(u32u13−u33u12(u12u23−u13u22(u23u31−u21u33)(u33u11−u31u13)(u13u21−u11u23)(u21u32−u22u31)(u31u12−u32u11)(u11u22−u12u21)⎤⎦⎥⎡⎣⎢ω1ω2ω3⎤⎦⎥
und so durch (A-04)
ω'=U¯¯¯¯ω(A-11)
Hinweis: Dieses Ergebnis hat mit einem ersten Schritt zum Aufbau von Baryonen aus 3 Quarks zu tun
3 ⊗ 3 = 6 ⊕3¯¯¯(A-12)
Die Invarianz von ( dem Komplex3 × 3
Tensor ) Antisymmetrie unterU∈ SU( 3 )
ist die Invarianz des Komplexes3
-dimensionalen Raum ihres Vertreters3
-Vektorenω
, die transformiert werden unter U¯¯¯¯
und nicht darunter U
. Dies erklärt warum3¯¯¯
und nicht3
.
WennU=U¯¯¯¯= M
, das istU
real ist, dann stellt es eine reine Rotation darR3
,MT=M− 1
und (A-10'
) ergibt
Ω'= MΩ _M− 1⟺ω'= Mω _(A-13)
Abschnitt B : Eine nützliche Identität, die in Abschnitt A erforderlich ist
Wennein = (A1,A2,A3) ,b = (B1,B2,B3)
sind komplex3
-Vektoren einC3
UndM
eine umkehrbare lineare Transformation in diesem Raum dargestellt durch die3 × 3
komplexe Matrix
M =⎡⎣⎢M11M21M31M12M22M32M13M23M33⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ρ1ρ2ρ3⎤⎦⎥(B-01)
Wo
ρich( ich = 1 , 2 , 3 )
bezeichne seinen Zeilenkomplex
3
-Vektoren, dann
M a × M b = [det ( M ) ⋅(M− 1)T] ( a × b )(B-02)
Wo
det ( M ) = die Determinante von M =ρ1∘ (ρ2×ρ3)(B-03)
(M− 1)T= die transponierte Umkehrung vonM =1det ( M )⎡⎣⎢(ρ2×ρ3)(ρ3×ρ1)(ρ1×ρ2)⎤⎦⎥(B-04)
Der Ausdruck
ein ∘ b
ist definiert durch
ein ∘ b =A1B1+A2B2+A3B3(B-05)
nicht zu verwechseln mit dem üblichen Innenprodukt in
C3
⟨ ein , b ⟩ =A1B¯¯¯1+A2B¯¯¯2+A3B¯¯¯3(B-06)
Beweis: Let
h = Ma × M b _
Wenn
{e1,e2,e3}
ist eine orthonormale Basis von
C3
dann kann man formal für zwei beliebige Zeilenvektoren schreiben
ρ × σ =∣∣∣∣e1ρ1σ1e2ρ2σ2e3ρ3σ3∣∣∣∣
("formal", weil eine Determinante Zahl ist, hier die
eich
sind Vektoren). Somit
h =∣∣∣∣∣e1(M11A1+M12A2+M13A3)(M11B1+M12B2+M13B3)e2(M21A1+M22A2+M23A3)(M21B1+M22B2+M23B3)e3(M31A1+M32A2+M33A3)(M31B1+M32B2+M33B3)∣∣∣∣∣
oder in kompakterer Form
h =∣∣∣∣∣e1(ρ1∘ a )(ρ1∘b ) _e2(ρ2∘ a )(ρ2∘b ) _e3(ρ3∘ a )(ρ3∘b ) _∣∣∣∣∣
So
H1===(ρ2∘ ein ) (ρ3∘b ) − ( _ρ2∘ b ) (ρ3∘ a )ρ2∘[ (ρ3∘ b ) ein − (ρ3∘ a ) b ]ρ3× ( a × b )=ρ2∘ [ρ3× ( a × b ) ](ρ2×ρ3) ∘ ( a × b )
das ist
H1= (ρ2×ρ3) ∘ ( a × b )
und durch zyklische Permutation der Indizes 1,2,3 haben wir für die anderen beiden Komponenten
H2= (ρ3×ρ1) ∘ ( a × b )
H3= (ρ1×ρ2) ∘ ( a × b )
und schlussendlich
h = Ma × M b = _⎡⎣⎢(ρ2×ρ3)(ρ3×ρ1)(ρ1×ρ2)⎤⎦⎥( a × b ) = [det ( M ) ⋅(M− 1)T] ( a × b )
Beachten Sie das für
M
eine reelle orthonormale Matrix
MMT= ich⟹M− 1=MT und det ( M ) = ± 1
und Gleichung (B-02) liefert wie erwartet
( M a × M b ) = ± M ( a × b )
Das '+'-Zeichen gilt für
M
eine reine Drehung ist, während das '-'-Zeichen gültig ist
M
eine Drehung plus eine Spiegelung.
frei
QMechaniker
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