Kürzlich habe ich das Kapitel 2 von Weinbergs QFT vol1 gelesen. Ich habe gelernt, dass wir in QM die projektive Darstellung der Symmetriegruppe anstelle der Repräsentation studieren müssen. Es besagt, dass eine Lie-Gruppe eine nichttriviale projektive Darstellung haben kann, wenn die Lie-Gruppe nicht einfach zusammenhängend ist oder die Lie-Algebra ein nichttriviales Zentrum hat. Für die einfache Lie-Gruppe ist die projektive Darstellung also die Darstellung der universellen Bedeckungsgruppe.
Aber es wird nur die Lie-Gruppe diskutiert, also was ist mit der projektiven Darstellung einer diskreten Gruppe wie einer endlichen Gruppe oder einer unendlichen diskreten Gruppe? Ich habe gehört, dass es mit Gruppenkohomologie, Schurs Multiplikator und Gruppenerweiterung zusammenhängt. Kann also jemand einige Lehrbücher, Monographien, Rezensionen und Artikel empfehlen, die eines der folgenden Themen abdecken können, an denen ich interessiert bin:
Wie konstruiert man alle inäquivalenten irreduziblen projektiven Darstellungen der Lie-Gruppe und der Lie-Algebra? Wie konstruiert man alle inäquivalenten irreduziblen projektiven Darstellungen diskreter Gruppen? Wie hängen diese mit der zentralen Erweiterung der Gruppe und der Lie-Algebra zusammen? Wie konstruiert man alle zentralen Erweiterungen einer Gruppe oder Lie-Algebra? Wie hängt die projektive Repräsentation mit der Gruppenkohomologie zusammen? Wie berechnet man Gruppenkohomologie? Gibt es einige Handbücher oder eine Liste der Gruppenkohomologie gemeinsamer Gruppen wie z , Punktgruppe, Raumgruppe, Flechtgruppe, einfache Liegruppe und so weiter?
Da ACuriousMind bereits einige der Fragen zuvor beantwortet hat, werde ich mich darauf konzentrieren, wie man Ergebnisse berechnet oder tabelliert.
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Main_Page ist verfügbar, aber noch in Arbeit. Einige der Gruppen, die Sie vielleicht möchten, sind dort tabelliert.
SAGE hat Befehle zum Berechnen von Gruppenkohomologien einigermaßen kleiner Gruppen. Probieren Sie kleine Gruppen aus, um zu testen, wie viel Rechenleistung Sie verwenden können. Dies funktioniert zumindest für Punktgruppen, die ich versucht habe zu laufen.
Für Kristallographiegruppen siehe tabelliert in https://arxiv.org/abs/1612.00846
In Gruppen, die in einer ganzzahligen Familie wie S_n, SU(n), SO(2n) vorkommen, sehen Sie möglicherweise eine Stabilisierung, die die Berechnung viel einfacher macht. Sie müssen jedoch n groß genug haben.
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Danu
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