Einheitliche Darstellungen von SO(3)SO(3)SO(3) und so(3)so(3)so(3)

Laut meinem Skript:
Quantenmechanische Zustände$ψ ∈ \mathcal H$ändert sich bei einer Drehung $R ∈ \text{SO(3)}, \vec{x} \rightarrow R\vec{x}$entsprechend$ψ \rightarrow U(R)ψ$, wohingegen$U(R)$ist eine einheitliche Darstellung von$\text{SO(3)}$ist, das heißt:

$$U: \text{SO(3)} \rightarrow \mathcal L(\mathcal H) = \{\text{linear transformation } \mathcal H \rightarrow \mathcal H\} = \text{GL}(\mathcal H,\mathcal H)$$ $$R \longmapsto U(R)$$
ist ein Homomorphismus, dh $U(R_1)U(R_2) = U(R_1R_2), U(1) = \mathbb I$was einheitlich ist $U(R)^{-1} = U(R)^*$.

Infinitesimale Drehungen sind Elemente$Ω$des Tangentialraums$T_{\mathbb I}SO(3) = \{\dot{γ}(0)|γ:[-ε,ε] \rightarrow \text{SO(3)}, γ(0) = \mathbb I\}$, Wo$γ(ε) = e^{εΩ} ∈ \text{SO(3)},γ(0) = e^{0Ω} = \mathbb I$, An$\text{SO(3)}$am Punkt$\mathbb I$:

$$Ω = \frac{d}{dt}R(t)\bigg|_{t=0},$$
wohingegen $t \longmapsto R(t)$ist eine differenzierbare Kurve in $\text{SO(3)}$durch $R(0) = \mathbb I$.

Jede Lie-Gruppendarstellung von$\text{SO(3)}$An$\mathcal H$entspricht einer Lie-Algebra-Darstellung von$\text{so(3)}$(aber nicht umgekehrt):

$$U(Ω):= \frac{d}{dt}U(R(t))\bigg|_{t=0}.$$

Die Verwandlung$Ω \longmapsto U(Ω)$ist ein Homomorphismus von$\text{so(3)}$ $(\alpha_1,\alpha_2 ∈ ℝ)$:

$$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = \alpha_1U(Ω_1) + \alpha_2U(Ω_2)$$ $$U([Ω_1,Ω_2]) = [U(Ω_1),U(Ω_2)],$$ während letzteres aus folgt $U(RΩR^{-1}) = U(R)U(Ω)U(R)^{-1} \quad (R ∈ \text{SO(3)}).$

---

Ich möchte die letzte Aussage überprüfen, dh das$Ω \longmapsto U(Ω)$ist ein Homomorphismus.
Rechenfragen:
1) Wenn ich nur überlege$\alpha_1U(Ω_1)$, ist es dann richtig zu sagen:

$$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1 U(\frac{d}{dt}R_1(t)\bigg|_{t=0})$$ $$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1\frac{d}{dt}U(R_1(t))\bigg|_{t=0},$$
durch einfaches Einstecken der Definitionen?
2) Wenn dies zutrifft, kann ich dann schließen: $$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = U(\frac{d}{dt}(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0})\\ \quad= \frac{d}{dt}U(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0} = \frac{d}{dt}(U(R_1(\alpha_1t))U(R_2(\alpha_2t)))\bigg|_{t=0} =\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2.$$
3) Ich frage das, weil jemand anderes das aufgeschrieben hat:
$$U(Ω_1+\alphaΩ_2) := \frac{d}{dt}U(R_1(t)R_2(\alpha t)\bigg|_{t=0}.$$
4) Also im Allgemeinen bin ich etwas verwirrt über die Notation, vielleicht könnte man das ein bisschen klarstellen.

---

Allgemeine Fragen und Anmerkungen:
Ich verstehe immer noch nicht das Hauptkonzept hinter Repräsentationen.
Lassen Sie mich ein paar Worte in diesen Raum setzen: Quantenmechanik ; Bornsche Regel; Symmetrien; Projektive Darstellungen; Wigners Theorem; nicht reduzierbare Darstellungen; Eigenzustände; Composite Systems & Clebsch-Gordan-Koeffizienten; Wigner-Eckart-Theorem.
Es wäre toll, wenn mir einer seine Idee in ein paar Zeilen mit den oben angegebenen Worten zeigen könnte. Ich selbst werde es später versuchen (bisher habe ich nur eine lange Version in einer anderen Sprache, die ich später posten kann). Vielen Dank im Voraus! :)