Anwendung einer Nicht-Matrix-Lie-Gruppe?

Ich studiere die Lie-Theorie aus Brian C. Halls „Lie Groups, Lie Algebras, and Representations“, in dem er sich eher auf Matrix- Lie-Gruppen (definiert als Sätze von Matrizen) als auf allgemeine Lie-Gruppen (definiert als glatte Mannigfaltigkeiten) konzentriert. Er beweist, dass alle Matrix-Lie-Gruppen auch allgemeine Lie-Gruppen sind, aber dass die Umkehrung nicht gilt: Nicht alle Lie-Gruppen können als Matrix-Lie-Gruppen dargestellt werden. Er gibt sogar zwei Beispiele, obwohl mir seine Beispiele ziemlich obskur erscheinen. Daher meine Frage:

Gibt es ein Beispiel für eine Lie-Gruppe, die nicht als Matrix-Lie-Gruppe dargestellt werden kann und auch eine Anwendung in der Physik hat?

Vielleicht MP ( 2 , R ) ? Laut Wikipedia „haben symplektische Spinstrukturen breite Anwendungen in der mathematischen Physik, insbesondere in der Quantenfeldtheorie, wo sie ein wesentlicher Bestandteil bei der Etablierung der Idee sind, dass symplektische Spingeometrie und symplektische Dirac-Operatoren wertvolle Werkzeuge in der symplektischen Geometrie und symplektischen Topologie liefern können. „

Antworten (1)

In dieser Antwort gehen wir davon aus, dass (i) Matrix-Lie-Gruppen aus endlichdimensionalen Matrizen bestehen und allgemeiner (ii) nur endlichdimensionale Lie-Gruppen betrachten.

Beispiele für Lie-Gruppen ohne nicht-triviale endlichdimensionale Darstellungen:

  1. Die stetige Heisenberg-Lie-Gruppe , deren entsprechende Heisenberg-Lie-Algebra die CCR bildet . (Hier nehmen wir implizit an, dass der Identitätsoperator aus der CCR durch die Identitätsmatrix repräsentiert wird. Daraus folgt, dass die CCR keine endlichdimensionalen Darstellungen hat .) Dies wird zB in der Quantenmechanik verwendet.

  2. Die metalineare Gruppe M L ( N , R ) . (Obwohl es endlichdimensionale projektive Darstellungen hat.)

  3. Die metaplektische Gruppe M P ( 2 N , R ) . Dies wird zB bei der metaplektischen Korrektur / Maslov-Index verwendet . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Ich bin verwirrt über das erste Beispiel, da die Heisenberg-Gruppe (zumindest im obigen Wiki-Link) als Matrix-Lie-Algebra definiert ist. Ist das ein Fehler oder übersehe ich etwas?
Im ersten Beispiel fehlt die Klammer.
Ich verstehe immer noch nicht ... ist die Gruppe die Heisenberg-Gruppe oder eine andere Gruppe, die mit der CCR verwandt ist? Warum ist CCR relevant?
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Danke. Betrachten Sie die CCR also als eine Lie-Algebra mit Elementen, die durch selbstadjungierte Operatoren im Hilbert-Raum gegeben sind (und einem Lie-Produkt, das durch die Kommutierungsbeziehungen gegeben ist)?
Ja. Es ist ein einfaches Ergebnis zu zeigen, dass es kein Finite-Dim gibt. Wiederholungen, da die Spur eines Kommutators ist 0 aber im HW-Fall ist der Kommutator die Identität, deren Spur es offensichtlich nicht ist 0 .
Okay, jetzt verstehe ich. Jetzt bin ich verwirrt, warum die Heisenberg-Algebra H (definiert als 3 × 3 Matrizen) ist beim Studium des CCR nützlich, da die Korrespondenz nur dann zu gelten scheint, wenn wir uns identifizieren ich ℏ 1 (für CCR) mit Z ∈ H , was sicher kein Vielfaches von ist ICH ∈ H . Z hier definiert: en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group#Lie_algebra_2
Aber ich denke, das ist eine Frage für einen anderen Beitrag.
Anwendung einer Nicht-Matrix-Lie-Gruppe?
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