Erzeugen verallgemeinerte Pauli-Operatoren SU(n)?

Eine häufig verwendete Verallgemeinerung der Pauli-Operatoren sind die hier zusammengefassten Operatoren „Uhr“ und „Schicht“ .

Pauli-Operatoren sind Generatoren von SU(2). Sind diese verallgemeinerten Pauli-Operatoren Generatoren von SU(n)?

Antworten (2)

Ja, natürlich tun sie das: JJ Sylvester stellte sie 1882 vor , p. 649, genau zu diesem Zweck. Sie sind eine Basis von allem N × N Matrizen und damit S u ( N ) , die Lie-Algebra von SU(n) . Eine lineare Kombination von ihnen mit geeigneten Koeffizienten, potenziert, liefert alle Elemente von SU(n) .

Die vollständige Familie von n 2 unabhängigen einheitlichen (aber nicht-hermiteschen) unabhängigen Matrizen

( Σ 1 ) k ( Σ 3 ) J = ∑ M = 0 N − 1 | M + k ⟩ ω J M ⟨ M | ,
Wo ω N = 1 , bietet eine spurorthogonale Basis für G l ( N , C ) , bekannt als "Nonions" G l ( 3 , C ) , "Sedenien" G l ( 4 , C ) , usw...

Das sollte klar sein Σ 1 N = Σ 3 N = 1 1 , und die Flechtbeziehung, Σ 3 Σ 1 = ω Σ 1 Σ 3 = e 2 π ich / N Σ 1 Σ 3 .

Da alle Indizes zyklisch mod n definiert sind , folgt Orthogonalität,

T R Σ 1 J Σ 3 k Σ 1 M Σ 3 S = ω k M N   δ J + M , 0 δ k + S , 0   .

Diese Basis, die wegen ihrer fehlenden Hermitizität nicht sehr beliebt ist, kann systematisch mit der hermitischen Standardbasis von Weyl-Cartan verbunden werden.

Zum Beispiel die Potenzen der Grundtaktmatrix, Σ 3 , bestehend aus der Cartan-Subalgebra, auf Linearkombinationen der abbilden H k N Lie Algebra-Elemente. Für n = 3 ("Nonions") ist es einfach, ihre Abbildung auf die Gell-Mann-Matrizen und die Identität zu demonstrieren.

Noch wichtiger ist, dass die Grenze n → ∞ in dieser Sprache besonders transparent ist und identifiziert G l ( ∞ , C ) mit der Lie-Algebra der Poisson-Klammern.

Die verallgemeinerten Pauli-Matrizen können als Grundlage für die Pauli-Untergruppe von verwendet werden S U ( N ) (dh sie hat Gruppeneigenschaften) und auch als Basis (von nicht-hermiteschen Matrizen, aber dennoch eine Basis) für hermitesche Matrizen, haben also auch algebraische Eigenschaften. Siehe doi: dx.doi.org/10.1063/1.528006 Es gibt eine ziemlich coole Anwendung von Zeitlin, V. „Finite-mode analogs of 2D ideal hydrodynamics: Coadjoint orbits and local canonical structure.“ Physica D: Nonlinear Phenomena 49.3 (1991): 353-362.
Ja, danke, Zeitlin verlässt sich tatsächlich auf unser Papier, sein Ref 4 . Weder Patera noch wir hatten Ende der 80er eine Ahnung von Sylvester.... Es ist alles JJSylvester, wenn man seine Begriffe, Sedenions, etc. liest... GL(N).
was ich tun werde, nachdem ich die anderen Artikel gelesen habe, die Sie zur Rekonstruktion des Potentials aus den Eigenwerten empfohlen haben.
Oh ... Sie können immer meinen Tahoe- Zusammenfassungsvortrag von 1989 vorladen ... Isospectral-Zeug ist gut, aber es kann auf einen regnerischen Tag warten ... (Als Rosner, Quigg und Thacker sahen, wie 2 und Zustände der Die Balmer-Formel reproduziert die Einzigartigkeit des Coulomb-Potentials, sie wurden verkauft ... sie schlugen Charmonia tot ...).

Meinen Sie "Generator" im Sinne der Gruppe oder im Sinne der Lie-Algebra?

Als Gruppe erzeugen die Paulis kein SU(2), da die Pauli-Gruppe endlich ist. Dasselbe gilt für den verallgemeinerten Paulis.

Als Lie-Algebra erzeugen die verallgemeinerten Paulis da SU(n). { ∑ ich J a ich J X ich Z J : a ich J ∈ R } besteht aus allen hermiteschen Matrizen.

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