Eindeutigkeit des Ausdrucks eines Lie-Gruppenelements

Die Exponentiale in Ihrer Faktorisierung sind eindeutig bestimmt, wenn sie existieren, aber nicht die Exponenten selbst.

Für verwandte Faktorisierungen in allgemeinen Lie-Gruppen siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group_decompositions .

Lassen$\mathfrak{G}$sei eine Lie-Gruppe endlicher Dimension$N$mit Lie-Algebra$\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(\mathfrak{G})$.

Nehmen Sie weiter an, dass die Vektoren$\{\hat{X}_j\}_{j=1}^N\subset \mathfrak{g}$ Spanne die Lie-Algebra auf$\mathfrak{g}$( dh sind ein$\mathfrak{g}$-Basis).

Dann gibt es noch etwas Nachbarschaft$\mathcal{N}\subset\mathfrak{G}$der Identität in$\mathfrak{G}$so dass für jedes Mitglied$\gamma\in\mathcal{N}$wir finden (im Allgemeinen nicht eindeutig)$\tau_j\in\mathbb{R}$ dh

Dies ist die Situation in Ihrer Frage, wo$i\,J_z,\,i\,J_\pm$Spanne$\mathfrak{su}(2)$.

Tatsächlich gibt es eine offene Nachbarschaft$\mathcal{U}\subset\mathbb{R}^N$von$\mathbf{0}\in\mathbb{R}^N$In$\mathbb{R}^N$so dass die Funktion:

ist bijektiv. Der$\tau_j$heißen dann kanonische Koordinaten zweiter Art für die Nachbarschaft$\mathcal{N}$: Sie sind die eindeutigen Koordinaten in der Nachbarschaft$\mathcal{U}$.

Das schließt jetzt Punkte nicht aus$(\tau^\prime_j)_{j=1}^N$ außerhalb der Nachbarschaft$\mathcal{U}$so dass:

und dies erklärt Qmechanics Beispiel , dass any$b\in 4\pi\mathbb{Z}$Und$a=0=c$gibt Ihnen ein Produkt, das der Identität entspricht.

Aus (2) folgt, dass jedes Mitglied der Identität verbundene Komponente ist$\mathfrak{G}$kann als endliches Produkt der Form dargestellt werden:

dh ein$M$-faches Produkt des kanonischen Koordinatenprodukts. In einer kompakten Gruppe gibt es eine strenge Obergrenze, abhängig von der genauen$\mathfrak{g}$-Basis gewählt, z$M$, die Anzahl der benötigten Multiplikanden. In einer nicht kompakten Gruppe gibt es keine solche Grenze. Somit gibt es viele Gruppenmitglieder (außerhalb$\mathcal{N}$) in der Identitätskomponente von$\mathfrak{G}$denen keine kanonischen Koordinaten gegeben werden können und tatsächlich ein größeres Produkt der Form (4) erfordern. Wenn das fragliche Gruppenmitglied außerhalb der identitätsverbundenen Komponente liegt, dann wird es kein Produkt der Form in (4) realisieren.$SU(2)$, ist jedoch verbunden (eigentlich einfach verbunden), sodass Sie dieses Problem hier nicht haben. Außerdem im Sonderfall von$SU(2)$für den Spezialfall der Basis$\{J_z,\,J_+,\,J_-\}$Sie gewählt haben, ist die durch (2) definierte Funktion mit nur drei Produktmitgliedern surjektiv auf$SU(2)$. Es ist jedoch nicht injektiv, wie wir bereits am Beispiel von Qmechanic festgestellt haben .

Einer der Kommentare besagte, dass das Versagen der Produkte (3) und (4), Gruppenmitglieder zu realisieren, auf die fehlende Surjektivität der Exponentialkarte zurückzuführen sei. Das ist nicht richtig. Im allgemeinen Fall der Lie-Gruppe gibt es viele Gruppenmitglieder (außerhalb$\mathcal{N}$) in der Identitätskomponente von$\mathfrak{G}$für die es keine Lösung für (1) gibt, wie wir bemerkt haben. Dies ist ganz unabhängig davon, ob die Exponentialfunktion surjektiv ist. In einer nicht kompakten Gruppe können alle Mitglieder der identitätsverbundenen Komponente immer durch ein Produkt der Form (4) dargestellt werden, es kann einfach sein, dass es beispielsweise bestimmte Elemente gibt$\zeta$, in der Identitätskomponente, die nicht die Exponentiale eines einsamen Lie-Algebra-Mitglieds sind, dh $\zeta\not\in\exp(\mathfrak{g})$und es gibt keine$X\in\mathfrak{g}$so dass$e^X=\zeta$.

Die Exponentialabbildung ist surjektiv in$SU(2)$, tatsächlich drin$SU(N)$. Dies ist leicht einzusehen, da alle unitären Matrizen also normal sind$\gamma\in SU(N)$einheitlich diagonalisierbar als$\gamma=T\,\exp(i\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots))\,T^\dagger$, Wo$\phi_j\in\mathbb{R}$und so$X=i\,T\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots)\,T^\dagger\in\mathfrak{su}(N)$ist so das$\gamma=e^X$.

Die Exponentialabbildung ist für alle kompakten, zusammenhängenden Lie-Gruppen surjektiv . Wie unser Beispiel zeigt, ist es jedoch nicht auf die gesamte Gruppe injektiv, sondern nur auf eine begrenzte Umgebung der Identität.

Die Exponentialkarte ist bei einigen nichtkompakten verbundenen Gruppen nicht surjektiv: Sie ist surjektiv für$SE(2)$, die eigentliche euklidische 2D-Gruppe (wahrscheinlich für$SE(N)$auch, aber ich habe dieses nicht berechnet), aber es ist nicht surjektiv$SL(2,\,\mathbb{R})$Und$SL(2,\,\mathbb{C})$. das Beispiel:

Wo$\alpha\in\mathbb{R}$ist das Standardbeispiel eines Lie-Gruppenelements, das nicht das Exponential eines Elements von ist$\mathfrak{sl}(2,\,\mathbb{R})$.

Natürlich,$\exp$ist auf keiner nicht zusammenhängenden Lie-Gruppe (mit mehr als einer zusammenhängenden Komponente) surjektiv.

Es ist immer noch eine offene Frage der Lie-Theorie, was die genauen Bedingungen für die Surjektivität des Exponentials sind.

Kommentar zur Frage (v1): Nein, eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig. ZB das Einheitselement${\bf 1}_{2\times 2}\in SU(2)$kann mit Parametern geschrieben werden$b\in 4\pi\mathbb{Z}$Und$a=0=c$.

Tatsächlich ist es oft so, dass sich Berechnungen vereinfachen, wenn der Parameterbereich so groß ist, dass einige Elemente nicht eindeutig dargestellt werden. Eine notwendige Bedingung für die Eindeutigkeit der Parametrisierung ist, dass die Integration über den Parameterbereich das Volumen der Gruppe ergibt (das Volumen ist nicht immer genau bekannt).