su(1,1)≅su(2)su(1,1)≅su(2)su(1,1) \cong su(2)?

Die Leiteroperatoren gehören zu den reellen Lie-Algebren$^1$

$$\begin{align} su(1,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}\sigma_3=-\sigma_3m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, \sigma_2, i\sigma_3 \}\cr ~\cong~sl(2,\mathbb{R}) ~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, i\sigma_2, \sigma_3 \}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_+, \sigma_-, \sigma_3 \}\cr ~\cong~ so(2,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}\eta =- \eta m\}, \end{align}$$ $$\sigma_{\pm}~:=~\frac{\sigma_1\pm i \sigma_2}{2}, \qquad \eta~=~{\rm diag}(1,1,-1),$$ aber sie gehören nicht zu den echten Lie-Algebren $$\begin{align} su(2)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}=-m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3 \} \cr ~\cong~ so(3)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}=-m\}. \end{align}$$ Alle oben genannten 5 reellen Lie-Algebren haben Komplexifizierungen , die isomorph zu sind $$\begin{align}sl(2,\mathbb{C})~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{C}}\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \}.\end{align}$$

--

$^1$Hier folgen wir der mathematischen Definition einer reellen Lie-Algebra. Beachten Sie, dass in einem Großteil der physikalischen Literatur die Definition einer reellen Lie-Algebra mit einem konventionellen zusätzlichen Faktor der imaginären Einheit multipliziert wird$i$, vgl. Fußnote 1 in meiner Phys.SE-Antwort hier .

Sie können die Generatoren tatsächlich so identifizieren, wie Sie es getan haben. Die Lie-Algebren und Lie-Gruppen sind jedoch unterschiedlich, da – wie von Qmechanic schnell gesagt – Sie unterschiedliche Realitätsbedingungen für die Koeffizienten verwenden müssen.

Eine allgemeine Matrix in der$SU(2)$Gruppe wird geschrieben als

$$M = \exp[ i( \alpha J_+ + \bar\alpha J_- + \gamma J_0 )]$$ wo $\alpha\in {\mathbb C}$und $\gamma\in {\mathbb R}$während die allgemeine Matrix in $SU(1,1)$wird von gegeben $$M' = \exp [ i( \alpha_+ J_+ + \alpha_- J_- + \beta J_0 ]$$ wo $\alpha_+,\alpha_-,\beta\in {\mathbb R}$sind drei verschiedene reelle Zahlen.

Zusammenfassend z$SU(2)$, die Koeffizienten vor$J_\pm$sind komplexe Zahlen, die zueinander konjugiert sind, während z$SU(1,1)$, sie sind zwei unabhängige reelle Zahlen. (Und ich entschuldige mich, dass ich nicht sicher bin, ob die$i$sollte im Exponenten weggelassen werden$SU(1,1)$nur nach Ihrer Konvention. Wahrscheinlich.)

Lässt man alle drei Koeffizienten vor$J_\pm,J_0$drei unabhängige komplexe Zahlen zu sein, erhalten Sie die Komplexierung der Gruppe. Und wie Qmechanic auch schrieb, die Komplexisierung von beidem$SU(2)$und$SU(1,1)$ist ja das gleiche, nämlich$SL(2,{\mathbb C})$.