Verschiedene Formeln für SO(3)SO(3)\rm SO(3) Rotationen

Question

Verschiedene Formeln für SO(3)SO(3)\rm SO(3) Rotationen

TaeNyFan

Für $\rm SO(3)$ Rotationen sind die Gruppenelemente durch die Standard-Euler-Matrizen gegeben $R_x(\theta_x)$ , $R_y(\theta_y)$ Und $R_z(\theta_z)$ für Drehungen im 3D-Raum:

R_{X} (θ_{X}) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ_{X} & Sünde θ_{X} \\ 0 & - Sünde θ_{X} & \cos θ_{X} \end{matrix}]

$R_x(\theta_x)=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& \cos\theta_x &\sin\theta_x \\0 &-\sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix}$

R_{j} (θ_{j}) = [\begin{matrix} \cos θ_{j} & 0 & - Sünde θ_{j} \\ 0 & 1 & 0 \\ Sünde θ_{j} & 0 & \cos θ_{j} \end{matrix}]

$R_y(\theta_y)=\begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & -\sin\theta_y \\ 0& 1 &0 \\ \sin\theta_y& 0& \cos\theta_y \end{bmatrix}$

R_{z} (θ) = [\begin{matrix} \cos θ_{z} & Sünde θ_{z} & 0 \\ - Sünde θ_{z} & \cos θ_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_z(\theta)=\begin{bmatrix} \cos\theta_z &\sin\theta_z & 0\\ -\sin\theta_z& \cos\theta_z &0 \\0 & 0& 1 \end{bmatrix}$ Die entsprechenden Generatoren

J_{x}

$J_x$ ,

J_{y}

$J_y$ Und

J_{z}

$J_z$ sind so definiert, dass

R_{X} (θ_{X}) = e^{ich θ_{X} J_{X}}, R_{j} (θ_{j}) = e^{ich θ_{j} J_{j}}, R_{z} (θ_{z}) = e^{ich θ_{z} J_{z}} .

$R_x(\theta_x)=e^{i\theta_xJ_x} , R_y(\theta_y)=e^{i\theta_yJ_y},R_z(\theta_z)=e^{i\theta_zJ_z}.$

Ich habe dann gelesen, dass die allgemeine Rotationstransformation gegeben ist durch

R (\vec{θ}) = e^{ich \vec{θ} \cdot \vec{J}},

$R(\vec{\theta})=e^{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}},$ Wo

\vec{J} = (J_{x}, J_{y}, J_{z})

$\vec{J}=(J_x, J_y, J_z)$ .

Ich bin verwirrt darüber, wofür die Komponenten sind $\vec{\theta}$ wird sein.

Stellen Sie sich eine Rotation im Raum vor, an der wir zuerst rotieren $\theta_z$ , dann durch $\theta_y$ und zuletzt $\theta_x$ , sollte die Rotationsmatrix sein

R (θ_{X}, θ_{j}, θ_{z}) = R_{X} (θ_{X}) R_{j} (θ_{j}) R_{z} (θ_{z}) = e^{ich θ_{X} J_{X}} e^{ich θ_{j} J_{j}} e^{ich θ_{z} J_{z}} .

$R(\theta_x,\theta_y,\theta_z)=R_x(\theta_x)R_y(\theta_y)R_z(\theta_z)=e^{i\theta_xJ_x}e^{i\theta_yJ_y}e^{i\theta_zJ_z}.$ Intuitiv würde ich denken, dass mit dem

R (\vec{θ}) = e^{i \vec{θ} \cdot \vec{J}}

$R(\vec{\theta})=e^{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}$ Formel bedeutet verwenden

\vec{θ} = (θ_{x}, θ_{y}, θ_{z})

$\vec{\theta}=(\theta_x, \theta_y, \theta_z)$ :

R (\vec{θ}) = e^{ich θ_{X} J_{X} + ich θ_{j} J_{j} + ich θ_{z} J_{z}}

$R(\vec{\theta})=e^{i\theta_xJ_x+i\theta_yJ_y+i\theta_zJ_z}$

Allerdings als Generatoren $J_x, J_y, J_z$ pendle nicht,

e^{ich θ_{X} J_{X}} e^{ich θ_{j} J_{j}} e^{ich θ_{z} J_{z}} \neq e^{ich θ_{X} J_{X} + ich θ_{j} J_{j} + ich θ_{z} J_{z}} .

$e^{i\theta_xJ_x}e^{i\theta_yJ_y}e^{i\theta_zJ_z} \neq e^{i\theta_xJ_x+i\theta_yJ_y+i\theta_zJ_z}.$ Es ist also falsch, das zu sagen

\vec{θ} = (θ_{x}, θ_{y}, θ_{z})

$\vec{\theta}=(\theta_x, \theta_y, \theta_z)$ . Wozu sollen die Komponenten dann dienen

\vec{θ}

$\vec{\theta}$ Sei?

QMechaniker

Verwandte: Äquivalente Rotation unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehung

TaeNyFan

@Qmechanic Also Komponenten für

\vec{θ}

$\vec{\theta}$ werden unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehung bestimmt. Ist das korrekt?

Antworten (2)

Verschiedene Formeln für SO(3)SO(3)\rm SO(3) Rotationen

Verwandte: Äquivalente Rotation unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehung
@Qmechanic Also Komponenten für $\vec{\theta}$ werden unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehung bestimmt. Ist das korrekt?

Gary Godfrey · Answer 1

Ihre Argumentation ist richtig. Die Euler-Winkel sind nicht die Komponenten von $\vec{\theta}$ . Hier ist was $\vec{\theta}$ Ist.

Lassen $\vec{\theta}=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\theta \hat{n}$ . Lassen Sie uns die 3x3-Matrix ableiten (dh: die Gruppenelemente $R(\vec{\theta})$ ) zum Drehen eines Objekts um $\theta$ Bogenmaß um eine willkürliche Richtung, die durch den Einheitsvektor angegeben ist $\hat{n}$ . Dies bedeutet, dass Sie Ihren rechten Daumen entlang des Einheitsvektors legen $\hat{n}$ und drehen Sie das Objekt, indem Sie mit den Fingern der rechten Hand durch den Winkel drücken $\theta$ . Für mich ist dies eine viel einfachere Möglichkeit, eine beliebige Drehung zu parametrisieren und zu visualisieren als Euler-Winkel. Notiz $\theta=\sqrt{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}$ .

Wie Sie in Ihrer Frage sagen, ist das Gruppenelement $R(\vec{\theta})=e^{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}$ . Dadurch wird jedes Objekt gedreht, das Vektoren mit einer beliebigen Anzahl von Komponenten enthält (z. B. ein Pfeil, ein Stein, ein Tensor oder Teilchen mit unterschiedlichen Spins). Wir wollen einen 3-Vektor drehen, also geben wir die 3x3-Matrixdarstellung jedes der 3 Generatoren ein $\vec{J}=(J_1,J_2,J_3)$ .

\begin{aligned} Θ & = ich \vec{θ} \cdot \vec{J} \\ = ich θ_{1} [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ich \\ 0 & - ich & 0 \end{matrix}] + ich θ_{2} [\begin{matrix} 0 & 0 & - ich \\ 0 & 0 & 0 \\ ich & 0 & 0 \end{matrix}] + ich θ_{3} [\begin{matrix} 0 & ich & 0 \\ - ich & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 0 & - θ_{3} & θ_{2} \\ θ_{3} & 0 & - θ_{1} \\ - θ_{2} & θ_{1} & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \Theta & =i\vec{\theta}\cdot \vec{J} \\ & = i\theta_1\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_2\begin{bmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_3\begin{bmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ -\theta_2 & \theta_1 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{align}$ Beachte das

[J_{1}, J_{2}] = i J_{3}

$[J_1,J_2]=iJ_3$ was für Rotationsgeneratoren (=Drehimpuls) richtig ist.

Endlich expandieren wir $e^{\Theta}$ in einer Potenzreihe und Matrix multiplizieren $\Theta$ 's zusammen, um jeden Begriff zu berechnen. Du wirst finden $\Theta^3=-\theta^2\Theta$ .

\begin{aligned} R (Θ) & = e^{Θ} \\ = ICH + Θ + \frac{Θ^{2}}{2!} + \frac{Θ^{3}}{3!} + \frac{Θ^{4}}{4!} + \dots \\ = ICH + Θ (1 - \frac{θ^{2}}{3!} + \frac{θ^{4}}{5!} - . . .) + Θ^{2} (\frac{1}{2!} - \frac{θ^{2}}{4!} + \frac{θ^{4}}{6!} - . . .) \\ R (Θ) & = ICH + \frac{Θ}{θ} S ich N (θ) + \frac{Θ^{2}}{θ^{2}} (1 - C Ö S (θ)) \end{aligned}

$\begin{align} R(\Theta) & =e^{\Theta} \\ & =I+\Theta+\dfrac{\Theta^2}{2!}+ \dfrac{\Theta^3}{3!}+ \dfrac{\Theta^4}{4!} +… \\ & =I+\Theta(1-\frac{\theta^2}{3!}+\frac{\theta^4}{5!}-...)+\Theta^2(\frac{1}{2!}-\frac{\theta^2}{4!}+\frac{\theta^4}{6!}-...) \\ \\ R(\Theta) & =I+ \frac{\Theta}{\theta}sin(\theta)+\frac{\Theta^2}{\theta^2}(1-cos(\theta)) \end{align}$ Das

R (Θ)

$R(\Theta)$ ist die Matrix zum Drehen eines beliebigen 3-Vektors um einen beliebigen Einheitsvektor

\hat{n}

$\hat{n}$ nach Winkel

θ

$\theta$ . Nehmen wir als Beispiel an

\hat{n} = (0, 0, 1)

$\hat{n}=(0,0,1)$ , was eine Drehung um die z-Achse um Theta ist. Dann die letzte Gleichung für

R

$R$ ergibt die bekannte Rotationsmatrix

R (Θ) = [\begin{matrix} C Ö S (θ) & - S ich N (θ) & 0 \\ S ich N (θ) & C Ö S (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R(\Theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ Beachten Sie, dass meine

s i n (θ)

$sin(\theta)$ ist das entgegengesetzte Vorzeichen wie Ihres, weil ich eine aktive Transformation am Objekt durchführe, während Ihre Formel für eine passive Transformation auf der Koordinatenachse gilt (dh:

{\vec{θ}}_{p a s s i v e} = - {\vec{θ}}_{a c t i v e}

$\vec{\theta}_{passive}=-\vec{\theta}_{active}$ ) .

Können Sie empfehlen, wo ich nachlesen kann, wie die Formel für die Drehung um eine beliebige Achse abgeleitet wird?
Es tut mir leid, aber ich habe keine Buch-/Papierreferenz. Das endgültige $R(\Theta)$ ist als Rodrigues-Formel bekannt. Die Wikipedia-Ableitung erscheint mir kompliziert. Die obige Erweiterung des Exponentials ist eine einfachere Ableitung. Sie können die Daumen / Finger-Interpretation von was überprüfen $\theta$ tut durch die Wahl $\hat{n}=(0,0,1)$ und sehen, dass es sich dreht sagen $(1,0,0)$ richtig, die $\vec{\theta}$ Und $\vec{J}$ als Vektoren umwandeln, wenn Sie die Drehung aus einem gedrehten Koordinatensystem betrachten.
Ich habe diese Woche einige Male auf diese Antwort zurückgegriffen. Es hat mir sehr geholfen. Vielen Dank und hoffe, dass Ihnen das Kopfgeld gefällt!

Eli · Answer 2

Nehmen Sie die Taylor-Reihe für diese Rotationsmatrix:

R_{X} (θ_{1}) = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ_{1}) & - Sünde (θ_{1}) \\ 0 & Sünde (θ_{1}) & \cos (θ_{1}) \end{array}]

$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \theta_{{1}} \right) &-\sin \left( \theta_{{1}} \right) \\ 0&\sin \left( \theta_{{1}} \right) &\cos \left( \theta_{{1}} \right) \end {array} \right]$

Sie erhalten

\begin{matrix} (1) & R_{X} (θ_{1}) = [\begin{array}{ccc} (1) & 0 & 0 \\ 0 & (1 - \frac{1}{2} {θ_{1}}^{2} + \frac{1}{24} {θ_{1}}^{4} + Ö ({θ_{1}}^{6})) & (- θ_{1} + \frac{1}{6} {θ_{1}}^{3} - \frac{1}{120} {θ_{1}}^{5} + Ö ({θ_{1}}^{6})) \\ 0 & (θ_{1} - \frac{1}{6} {θ_{1}}^{3} + \frac{1}{120} {θ_{1}}^{5} + Ö ({θ_{1}}^{6})) & (1 - \frac{1}{2} {θ_{1}}^{2} + \frac{1}{24} {θ_{1}}^{4} + Ö ({θ_{1}}^{6})) \end{array}] \end{matrix}

$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 1$

die Rotationsmatrix $R_x$ ist auch

R_{X} = exp (ich θ_{1} τ_{1})

$R_x=\text{exp}(i\,\theta_1\tau_1)$

Nehmen Sie die Taylor-Reihe

R_{X} = {ICH}_{3} + X + \frac{1}{2} X X + \frac{1}{6} X X X + \dots

$R_x=I_3+x+\frac 12 x\,x+\frac 16 x\,x\,x+\ldots$

mit $x=i\,\theta_1\,\tau_1$

Und:

τ_{1} = - ich [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]

$\tau_1=-i\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1 \\ 0&-1&0\end {array} \right]$

daher:

\begin{matrix} (2) & R_{X} (θ_{1}) = [\begin{array}{ccc} (1) & 0 & 0 \\ 0 & (1 - \frac{1}{2} {θ_{1}}^{2} + \frac{1}{24} {θ_{1}}^{4} + Ö ({θ_{1}}^{6})) & (- θ_{1} + \frac{1}{6} {θ_{1}}^{3} - \frac{1}{120} {θ_{1}}^{5} + Ö ({θ_{1}}^{6})) \\ 0 & (θ_{1} - \frac{1}{6} {θ_{1}}^{3} + \frac{1}{120} {θ_{1}}^{5} + Ö ({θ_{1}}^{6})) & (1 - \frac{1}{2} {θ_{1}}^{2} + \frac{1}{24} {θ_{1}}^{4} + Ö ({θ_{1}}^{6})) \end{array}] \end{matrix}

$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 2$

analog für die Rotationsmatrix $R_y~$ Und $R_z$

die Starrkörper-Rotationsmatrix lautet nun:

R_{X} (θ_{1}) R_{j} (θ_{2}) R_{z} (θ_{3}) \mapsto e^{(ich θ_{1} τ_{1})} e^{(ich θ_{2} τ_{2})} e^{(ich θ_{3} τ_{3})}

$R_x(\theta_1)\,R_y(\theta_2)\,R_z(\theta_3)\mapsto \text{e}^{(i\,\theta_1\,\tau_1)}\,\text{e}^{(i\,\theta_2\,\tau_2)}\,\text{e}^{(i\,\theta_3\,\tau_3)}$

mit:

τ_{2} = - ich [\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}], τ_{3} = - ich [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\tau_2= -i\,\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}~,\tau_3=-i\,\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

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