Gibt es einen Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und beobachtbaren Größen in der Physik?

Guten Abend zusammen.

Ich habe einige Fragen zur Beziehung zwischen Lie-Gruppen und Observablen in der Physik. Am Beispiel des Spin-Formalismus der Quantenmechanik kenne ich nämlich die Pauli-Matrizen { σ ich } entsprechen einer beobachtbaren Größe ( 1 2 Eigenwerte der Spinprojektion), da letztere hermitesche Operatoren sind.

Durch eine kürzlich durchgeführte Studie zur Gruppentheorie habe ich das jedoch verstanden 1 2 Spin-Eigenzustände der klassischen QM können den Vektorraum aufspannen, der sich unter einer Darstellung der Lie-Gruppe transformiert S U ( 2 ) .

Es ist immer so, dass eine hermitesche Basis einer Lie-Algebra eine beobachtbare Größe in der QM darstellt oder nur für S U ( 2 ) Gruppe? Was ist der allgemeine Zusammenhang zwischen Gruppentheorie und beobachtbaren Größen von QM und QFT?

Quantenobservable sind selbstadjungierte Operatoren, und klassische Observable bilden auch eine Lie-Algebra auf dem Phasenraum unter der Poisson-Klammer.
Ich verstehe Ihren Punkt und stimme Ihnen zu. Aber ich habe immer noch einige Probleme zu verstehen, wie es möglich ist, dass eine Lügengruppe, ein Objekt, das auf seiner "makroskopischen Ebene" Informationen darüber codiert, wie sich ein Objekt transformiert, auf seiner infinitesimalen Ebene einen anderen Formalismus codieren könnte, um physikalische Größen zu messen. Es scheint gleichzeitig faszinierend und sehr komplex zu sein xD
Kennen Sie den Satz von Noether und wie er Symmetrien mit Erhaltungsgrößen wie Impuls und Energie verbindet? Ich denke, das könnte das fehlende Bindeglied zwischen physikalischen Observablen (die letztendlich konservierte Größen sind) und Symmetrien sein, nach denen Sie suchen?
Ja, aber das Noether-Theorem besagt die Erhaltung einer allgemeinen Ladung in Gegenwart einer Transformationsgruppe, die die Aktion invariant lässt (wie Energie und Impuls für die Raum-Zeit-Translationssymmetrie, wie Sie erwähnt haben). :) Meine Frage bezieht sich eher darauf, wie Sie eine infinitesimale Transformation einer Lie-Gruppe (eine Lie-Algebra) als beobachtbare Größe in der Physik sehen können. ohne es zu konservieren.

Antworten (1)

Lassen A sei die C*-Algebra eines quantenmechanischen Systems, und nehme an, dass G wirkt auf A durch Symmetrien durch den Gruppenhomomorphismus a : G → Aut ( A ) . Nehmen wir das weiter an G ist eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit trivial H 2 ( G , R ) , G ist die Lie-Algebra von G . Wenn π ist ein a -reguläre Darstellung, was bedeutet, dass die Übergangswahrscheinlichkeit P ω → ω ∘ a G ist durchgehend drin G ∈ G für jedes Bundesland ω , Dann G kann einheitlich auf dem Hilbert-Raum von dargestellt werden π Sodass

u G π ( A ) u G ∗ = π ( a G ( A ) ) , ∀ A ∈ A ,
nach dem Satz von Bargmann. Dies drückt die Tatsache aus, dass das Paar ( π , u ) ist eine kovariante Darstellung der G -Algebra A . Seit u ist eine Darstellung von G , es induziert eine Darstellung von G auf dem Hilbertraum von π sowie durch selbstadjungierte Operatoren. Wenn Sie also zulassen, dass die Generatoren in der größeren C*-Algebra leben, die von generiert wird π ( A ) und alle u G für alle G ∈ G (das gekreuzte Produkt A ⋊ ( π , u ) G ), können Sie sie als Observables interpretieren. In den meisten Fällen kann diesen Operatoren eine physikalische Bedeutung gegeben werden (z. B. sind die Generatoren von Translationen die Impulsoperatoren usw.).

Ich denke, das sollte sein G → A u T ( A ) . Ich kenne mich in Physik nicht so gut aus, also wenn es dir nichts ausmacht: ist das C ∗ -Algebra eines Systems eine Algebra (oder die Algebra) der Observablen? Wenn ja, ist dies eine Algebra hermitischer Operatoren auf einem festen Hilbert-Raum (Zustandsraum) oder abstrakt C ∗ -Algebra-Struktur beschreibt das gesamte System und wir können mit verschiedenen Darstellungen arbeiten ( A -Module)?
Danke, in der Tat hast du recht! Natürlich die Kodomäne von a muss in der Menge der Automorphismen der C*-Algebra enthalten sein. Besagte Algebra ist die Algebra aller Observablen. Wenn Sie ein mechanisches System in einem bestimmten Zustand vorbereiten, erhalten Sie eine Darstellung von A auf einem Hilbert-Raum, der einer bestimmten Konstruktion folgt, die als GNS-Konstruktion bekannt ist. Allgemeiner ist die gesamte Physik in der Darstellungstheorie von verschlüsselt A .
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und beobachtbaren Größen in der Physik?
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