Ist die Definition für die Erzeuger von SO(3)SO( 3)SO(3) in Misner, Thorne und Wheeler richtig?

Hinweis: Ich glaube nicht, dass dies einfach eine Frage der Konvention in Bezug auf einen positiven Winkel, die Händigkeit der Koordinaten oder die Reihenfolge der Matrixmultiplikation für Vektoroperationen ist. All das ist Standard in anderen Teilen von MTW.

Meine Frage: ist meine modifizierte Definition richtig. Oder stimmt das von MTW?

In Aufgabe 9.13 von Gravitation, von Misner, Thorne und Wheeler, ist die Komponentendefinition der Generatormatrizen der Rotationsgruppe gegeben als$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn},$Wo$\epsilon_{lmn}$ist das Levi-Civita-Symbol. Dies scheint falsch zu sein. Ich schlage vor, dass die Definition sein sollte$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=-\epsilon_{lmn}$

Wenn mir mein Verstand keinen Streich spielt, ergibt sich die Definition von MTW

$$\mathcal{K}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{3}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Etwas, das die komplexe Struktur von genannt wird$\mathbb{R}^2$wird in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition, von Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon eingeführt . Es ist definiert als$\mathcal{J}\left(p_1,p_2\right)=\left(-p_2,p_1\right),$was eine Drehung um ist$\pi/2$. Seine Matrix$\mathcal{J}$und ganzzahlige Potenzen davon sind

$$\mathcal{J}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{J}^{2}=-\mathcal{I};\mathcal{J}^{3}=-\mathcal{J};\mathcal{J}^{4}=\mathcal{I}=\mathcal{J}^{0}.$$

Erziehen$e$zu einer Matrix-Potenz ist als formal identisch mit der Taylor-Reihenentwicklung von definiert$e^{x}.$Also, wenn unsere Matrix ist$\theta\mathfrak{m},$Wo$\theta$ein Skalar ist, haben wir

$$e^{\theta\mathfrak{m}}=\theta^{0}\mathfrak{m}^{0}+\theta\mathfrak{m}+\frac{\theta^{2}}{2}\mathfrak{m}^{2}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\mathfrak{m}^{n}.$$

Die bekannte Taylor-Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktion ist

$$e^{\theta\text{i}}=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right) =\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$$

Passende Begriffe sehen wir so

$$\begin{aligned} e^{\mathcal{J}\theta}&=\mathcal{I}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{J}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}\cos\theta+\mathcal{J}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cos\theta+\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, \end{aligned}$$

das ist eine Drehung in der euklidischen Ebene durch$\theta$.

Wie im Screenshot unten zu sehen ist, sind die Untermatrizen der$\mathcal{K}_l$aus Nicht-Null-Zeilen und -Spalten gebildet, und die Potenzen dieser Untermatrizen sind gleich der Matrix$\pm\mathcal{J},$und seine Kräfte.

Die Übung gibt die Definition

$$\mathcal{R}_{x}\left(\theta\right)\equiv\exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{n},$$

und fordert uns auf zu zeigen, dass dies eine Rotationsmatrix ist, die eine Rotation um erzeugt$\theta$über die$x$-Achse. Und ähnlich für die$y$- Und$z$-Achsen.

Um die Dinge zu vereinfachen, definieren wir

$$\mathcal{I}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

So haben wir

$$\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{0}=\mathcal{I};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{1}=\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{2}=-\mathcal{I}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{3}=-\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{4}=\mathcal{I}_{1}.$$

Verwenden Sie diese, um unser exponentielles Geben zu erweitern

$$\begin{aligned} \exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)&=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{K}_{1}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\cos\theta+\mathcal{K}_{1}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}.$$

Aber das ist eine Rotation über die$x$-Achse durch$-\theta.$Die anderen beiden Matrizen erzeugen ebenfalls Drehungen um$-\theta.$

$$\exp\left(\mathcal{K}_{2}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 0 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\\ \exp\left(\mathcal{K}_{3}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} .$$