Generator einer Rotationsmatrix

Ihre orthogonale Matrix

$$R(\phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta)\cos(\phi) & -\cos(\theta)\cos(\phi) & \sin(\phi)\\ \sin(\theta)\sin(\phi) & -\cos(\theta)\sin(\phi) &-\cos(\phi) \end{bmatrix}$$ müssen antisymmetrische Generatoren haben.

Um sie zu finden, müssen Sie um den Ursprung expandieren,$\phi=\pi, \theta=0$. Um Verwirrung zu vermeiden, definieren Sie$\Phi\equiv = \pi-\phi$, der Ursprung liegt also bei$\Phi=\theta=0$.

$$R(\Phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ - \sin(\theta)\cos(\Phi) & \cos(\theta)\cos(\Phi) & \sin(\Phi)\\ \sin(\theta)\sin(\Phi) & -\cos(\theta)\sin(\Phi) &\cos(\Phi) \end{bmatrix}$$

Auswerten$R(\delta\Phi, 0)=\bigg[I+t\delta\Phi\bigg]$, So

$$t= \begin{bmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & - 1 &0 \end{bmatrix}.$$

Kannst du auch auswerten$R(0,\delta \theta)$?

---

Hinweis gemäß Kommentar hinzugefügt.

Die obige Rotationsmatrix R ist dann in den Konventionen von WP aber

$$e^{-\Phi L_x} e^{-\theta L_z} ,$$ die Sie vielleicht von BCH komponieren möchten , $$\exp (-\Phi L_x -\theta L_z+ \Phi \theta [L_x,L_z]/2+... ),$$ oder die endliche Rotationsformel von Gibbs usw., wenn Sie so geneigt waren. Für orthogonale Achsen wie Ihre bricht die Gibbs-Formel fast zusammen: Die effektive Rotationsachse ist nur parallel zu$\hat z \tan (\theta/2) +\hat x \tan (\Phi/2) +\hat y \tan (\theta/2) \tan (\Phi/2)$! (Können Sie sehen, dass dies genau der invariante Vektor von R ist?)

In jedem Fall hat die Begrenzungsprozedur am Ursprung, die die Generatoren aus Ihrer endlichen Rotationsmatrix ergibt, Informationen geopfert: Überzeugen Sie sich selbst, dass mehrere verschiedene Rotationsmatrizen dieses identische Verhalten am Ursprung aufweisen können, natürlich – denken Sie daran, die Reihenfolge der beiden umzukehren Faktoren oben; Sie sollten also im Allgemeinen nicht erwarten, diese spezifische Rotationsmatrix aus dem Tangentialraumverhalten am Ursprung wiederherzustellen. (Hier haben Sie Ihre endlichen Drehungen bereits im Voraus berücksichtigt. Was der dritte Satz von Lie garantiert, ist im Wesentlichen der Satz von Euler: Die beiden Teildrehungen werden zu einer einzigen Drehung um eine neue Achse kombiniert.)

Die Parametrisierung, die Sie angegeben haben, hat einfach nicht die Exponentialform, nach der Sie suchen.

Die Matrix, die Sie aufgeschrieben haben, wird durch die Position von parametrisiert$x$Achse nach der Drehung, die Polarwinkel hat$\theta$und Azimutwinkel$\phi$in polaren Kugelkoordinaten um das Alte gezogen$x$Achse. Es ist keine Drehung um den Winkel$\phi$um eine Achse im Winkel$\theta$, noch ist es eine Drehung um den Winkel$\theta$um eine saubere Achse, noch ist es eine Kombination von Drehungen um Winkel$\theta$Und$\phi$. Es kann natürlich als Drehung um einen bestimmten Winkel um eine bestimmte Achse ausgedrückt werden, aber dieser Winkel ist keines von beiden$\theta$noch$\phi$.

Als solches gibt es keinen nützlichen Weg, um eine Entwicklung niedriger Ordnung in Bezug auf zu finden$\theta$oder$\phi$gibt Ihnen einen nützlichen Generator, der Ihre Matrix bei der Potenzierung neu erstellt.