1-dimensionale Ringgeometrie - Übersetzungsgruppe

Ich betrachtete eine ringartige eindimensionale Geometrie. Wenn wir dabei einen Ursprung (an irgendeinem Punkt auf dem Umfang) festlegen, können wir uns eine Menge aller Verschiebungen entlang des Umfangs vorstellen , um einen Vektorraum zu bilden . Jetzt kann ein Vektor bezeichnet werden durch (aus einigen Gründen, die klar werden),

( X 1 )
Außerdem kann man jeden anderen Vektor im Raum erhalten, indem man beispielsweise den Vektor übersetzt X 0 → X 0 + A . Wir können die lineare Transformation verwenden:
T ( A ) = ( 0 A 0 0 )
so dass
( X + A 1 ) = ( X 1 ) + T ( A ) ( X 1 )
Nun bildet die Menge aller solcher linearer Transformationen eine Gruppe.

Der wichtigste Teil dieser Transformation ist, dass, wenn der Umfang des Rings etwas ist L , dann die Verwandlung T ( N L ) Wo N ∈ Z sollte den Vektor nicht ändern. Mathematisch,

T ( N L ) ( X 0 1 ) = ( X 0 1 )

Nun meine Frage, ist mit diesen Definitionen die Gruppe der Übersetzungen kompakt ? Und wenn es der Generator der Übersetzungen ist, wird er einige Eigenschaften wie Drehimpulse haben (obwohl dies ein Generator von Übersetzungen ist)?

PS: Ich hoffe, ich spreche nicht von Rotationen. Ich spreche nur von Übersetzungen entlang des Umfangs des Kreises.

Dies ist eine vollkommen legitime Frage der technischen Physik. Was ist der Sinn der knappen Abstimmung? Ich muss sagen, dass es ziemlich bedenklich ist, dass immer mehr solche und ähnliche legitime Fragen von Menschen, die sich ernsthaft für ein Physikstudium auf technischem Niveau interessieren, hier scheinbar nicht mehr erwünscht sind ...
@Dilaton Die enge Abstimmung war eine Migrationsabstimmung (zu math.SE); Ich habe die Frage noch einmal gelesen und festgestellt, dass sie gegen Ende auch nach dem Drehimpuls fragt. Enge Abstimmung zurückgezogen (obwohl ich mir nicht ganz sicher bin, ob es sich primär um eine mathematische Frage handelt oder nicht).
@joshphysics Die andere Frage, die Kyle Kanos ebenfalls verlinkt hat, hätte auch nicht migriert werden sollen. 3 Community-Mitglieder haben es tatsächlich aus der Close-Warteschlange entfernt, indem sie sagten, offen lassen, aber dann wurde es trotzdem von einem Mod migriert. Wie ich schon zu Kyle Kanos sagte, imho ist es, wie in diesem und dem anderen Fall, nicht immer möglich, eine klare Linie zu ziehen, weil Physik in der Sprache der Mathematik geschrieben ist, die Erklärung von Erhaltungssätzen braucht zum Beispiel Gruppentheorie, und die Fortgeschrittenen/ Je theoretisch das Thema ist, desto mehr Mathematik ist erforderlich, um technisch darüber zu sprechen. Ich würde mir wirklich etwas mehr Toleranz gegenüber eher wünschen
@Dilaton Als jemand, der diese andere Frage beantwortet hat; Ich stimme wahrscheinlich zu, dass es hier hätte bleiben sollen.
Mathy Questions on Physics SE zugunsten von Menschen, die sich für ein Studium der Physik auf einem ernsthaften technischen Niveau interessieren. Ich erinnere mich nur an die in der Physik viel relevantere 1 + 1 + 1 = -1/2-Frage, sogar Lubos Motl, ein bekannter Experte auf diesem Gebiet, sagte, sie hätte hier bleiben sollen. Auf Math SE fallen solche zu physikalischen Fragen im besten Fall durcheinander, da die Leute dort nicht allzu sehr an physikalischen Dingen interessiert sind, abgesehen davon, dass sie diese Dinge oft anders als Physiker betrachten.

Antworten (1)

Zunächst einmal versuche ich, Ihre Frage in einer klareren Form zu formulieren.

In Betracht ziehen R ausgestattet mit der Äquivalenzrelation:

X ∼ j dann und nur dann, wenn X − j = 2 k π mit k ∈ Z .

Der Raum R / ∼ von Äquivalenzklassen [ X ] Ist S 1 auch als topologischer Raum unter Verwendung der Quotiententopologie.

Betrachten Sie als nächstes die Standardaktionen der Lie-Gruppe von Übersetzungen R auf der echten Linie R :

T ( A ) X := X + A ∀ X , A ∈ R ,

und definiere die Repräsentation der Übersetzungsgruppe an S 1 als

T ' ( A ) [ X ] := [ T ( A ) X ] ∀ X , A ∈ R . ( 1 )

Die Karte R ∋ A ↦ T ' ( A ) ist nämlich eine Darstellung der Übersetzungsgruppe auf S 1 in Bezug auf Isometrien des Kreises (wenn mit der Standardmetrik ausgestattet). Insbesondere hat man T ' ( 0 ) = ich D Und T ' ( A ) T ' ( B ) = T ' ( A + B ) .

Allerdings hat das alles nichts mit Kompaktheit (falsch!) der Translationsgruppe zu tun, auch wenn das skizzierte Verfahren zu einer Darstellung dieser (nicht-kompakten) Lie-Gruppe auf einer kompakten Mannigfaltigkeit in Form von Isometrien dieser Mannigfaltigkeit führt.

Kommen wir schließlich zum Zusammenhang mit der Rotationsgruppe von R 2 : S Ö ( 2 ) ≡ U ( 1 ) .

Als R ist die universelle Abdeckung von U ( 1 ) , mit überdeckendem (surjektiver Lie-Gruppe) Homomorphismus:

π : R 1 ∋ A ↦ e ich A ∈ U ( 1 ) , ( 2 )
jede Darstellung der Gruppe von R 2 Drehungen U ( 1 ) ist auch eine Darstellung der Gruppe der Übersetzungen R .

Identifizieren S 1 mit U ( 1 ) in der üblichen Weise die natürliche Handlung (Darstellung) von U ( 1 ) auf dem Kreis ist trivial

R ( e ich A ) e ich X = e ich ( A + X ) ( 3 )

wo die erste e ich A wird als Element der Gruppe angesehen U ( 1 ) ≡ S Ö ( 2 ) und die anderen beiden werden als Elemente des Kreises angesehen U ( 1 ) ≡ S 1 .

Das Zusammenspiel von T ' , R Und π , wie man leicht beweist, ist:

R ( π ( A ) ) = T ' ( A ) ∀ A ∈ R . ( 4 )

Dies stimmt mit der obigen Bemerkung überein, dass Wiederholungen von S Ö ( 2 ) sind auch Wiederholungen von R .

Somit ist es tatsächlich nicht möglich, zwischen der Wirkung von zu unterscheiden R und das von S Ö ( 2 ) auf dem Kreis S 1 , obwohl es sich um unterschiedliche Gruppen handelt und nur die letztere kompakt ist (und in gewisser Weise mit der Komponente des Drehimpulses verwandt ist, die orthogonal zu ist R 2 .)

Ich schätze Ihre Antwort sehr. Aber ich fange gerade an, Lügenalgebra zu lernen (und ich studiere Physik). Obwohl ich den Kern Ihrer Antwort verstehe, verstehe ich die mathematischen Details nicht.
Außerdem interessiere ich mich dafür zu verstehen, wie man die Kompaktheit einer Gruppe findet
Hallo, wenn Sie gerade erst anfangen, diese Dinge zu lernen, ist Ihre Frage vielleicht zu kompliziert, da sie, wie Sie gesehen haben, eine technische Antwort benötigt. aber ich bin auch Physiker (einschließlich meiner Promotion). In Bezug auf die Kompaktheit ist die Geschichte einfach. Fast alle interessanten Gruppen in der theoretischen Physik sind Gruppen von Matrizen, also Teilmengen von R N 2 mit N groß genug. Die Topologie und die differenzierbare Struktur sind diejenigen, die durch induziert werden R N 2 . Wie in R N Da kompakte Mengen alle abgeschlossene beschränkte Mengen sind, sollten Sie nur diese beiden Bedingungen überprüfen.
Oh, ok !! Danke, aber ich habe die Frage nur aus Neugier erfunden. Wenn man weiter denkt, sollte es da nicht einen ähnlichen Zusammenhang geben S Ö ( 3 ) Und U ( 2 ) (Das ist es auch, was uns diese halben Spin-Teilchen gibt.
Also zum Beispiel U ( N ) kann als eine Teilmenge von angesehen werden R ( 2 N ) 2 . Es ist eine abgeschlossene Teilmenge dieses Raums, weil es seine Grenzpunkte enthält (wenn A k A k † = ICH Und A k → A In R ( 2 N ) 2 Dann A A † = ICH ). Es ist auch kompakt, weil beschränkt ist: If U ∈ U ( N ) Dann | U R S | 2 ≤ ∑ ich ( ∑ J U ich J U ich J ∗ ) = ∑ ich δ ich ich = N .
Betreffend S Ö ( 3 ) Und U ( 2 ) , ja da ist die Verbindung die du denkst und sie führt zu den zwei Arten der Darstellung des Spins. Siehe meine (sorry, ziemlich technische) Antwort auf physical.stackexchange.com/questions/96569/…
Danke !! Vorschläge zum Erlernen von Lügengruppen und Algebra mit einer leichten mathematischen Neigung.
Kann ich verallgemeinern, indem ich eine Hypersphäre in N-Dimensionen betrachte, kann es eine Verbindung zwischen den Gruppen U (N) und SO (N + 1) geben? Wenn nicht, was ist die Grenze von N (oder Bedingung), dass dies zusammenbricht?
Eine notwendige Bedingung ist, dass die beiden Gruppen dieselbe Dimension wie reelle Mannigfaltigkeiten haben (dh dieselbe Dimension der jeweiligen Lie-Algebren). S U ( N ) ist eine Lügengruppe mit realer Dimension N 2 − 1 , S Ö ( N + 1 ) ist eine Lügengruppe mit realer Dimension ( ( N + 1 ) 2 − ( N + 1 ) ) / 2 . Sie passen für N = 2 nur. In der Tat S U ( 2 ) Und S Ö ( 3 ) sind lokal identisch.
Bezüglich U(N) und SO(N+1) hingegen hat die Lie-Algebra von U(N) eine Dimension N 2 . Sie passen also zusammen N = 1 nur. In der Tat S Ö ( 2 ) Und U ( 1 ) sind isomorph.
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