Darstellung von su(2)su(2)su(2) Lie-Algebra auf einem Torus

Ich habe vor kurzem mit dem Studium von QFT (als Hobby nach der Pensionierung) begonnen, basierend auf Texten von David Tong und Anthony Zee.

Meine Frage basiert auf der Lie Algebra der S U ( 2 ) Gruppe, und wie dies auf einer Mannigfaltigkeit wie dem 3 (realen) dimensionalen Torus dargestellt werden kann.

Insbesondere würde ich gerne wissen, wie ich den Kommutierungsvorgang des Spinoperators verstehen soll [ S X , S j ] = S z ist zu verstehen, wenn sie an einem Torus durchgeführt wird.

Ich suche nicht unbedingt nach einer direkten Antwort, da die Erstellung einer Reihe von Bildern möglicherweise zu zeitaufwändig ist. Ich habe Penroses "Road to Reality" gelesen, von dem ich dachte, dass es mir das beste geometrische Bild geben könnte, aber es gibt dort keine direkte Antwort.

Als Selbststudierende entschuldige ich mich, wenn ich mich in meiner Intuition darüber irre, was der Torus tatsächlich darstellt.

Als Antwort auf den Kommentar unten:

Ich meine "repräsentieren" auf allgemeine Weise und nicht etwas Formales wie eine Matrixdarstellung

Ich meine, gibt es ein Dualitätstyp-Setup? Können wir die Form des Torus nutzen, um mehr über die Eigenschaften von Spinhalbteilchen herauszufinden?

Eine andere Art, die Frage zu stellen: Gibt es eine physikalische Intuition für die Auswahl eines Torus, und wenn ja, wie spiegelt die Form des Torus Spinhalbteilchen wider, oder ist es nur eine formale mathematische Abbildung?

Meine Gedanken sind, dass der Torus nur eine andere Sichtweise auf das Problem ist und dass es äquivalente Operationen dafür geben sollte, aber ich interpretiere vielleicht zu viel hinein,

Bearbeiten Sie, um Kommentare einzuschließen, da diese Frage auf einer falschen Annahme von mir basiert, aber jemand könnte es nützlich finden:

Nur zur Sicherheit: Sie wollen die Lie-Algebra als Mannigfaltigkeit darstellen, nicht die Gruppe? Weil SU(2) die Gruppe die Mannigfaltigkeit S3 ist, aber wahrscheinlich ist das nicht das, wonach Sie suchen. Außerdem hat jede Lie-Gruppe eine Untergruppe, die ein Torus ist und durch die Exponentialfunktion der Cartan-Subalgebra erzeugt wird. Im Fall von SU(2), das den Rang 1 hat, ist der Torus nur ein Kreis.

Gibt es eine Quelle, die Sie lesen, wo Sie auf die Idee kommen, "SU (2) auf einem Torus darzustellen"? Das ist keine Standardsprache, die ich kenne. Wenn Sie eine Quelle zitieren könnten, könnte uns das helfen zu verstehen, wonach Sie suchen.
@lukepritchett. Ich gebe zu, meine Frage ist vage, aber ich habe versucht, sie ein wenig zu präzisieren.
Nur zur Sicherheit: Sie wollen die Lie- Algebra als Mannigfaltigkeit darstellen , nicht die Gruppe? Weil S U ( 2 ) die Gruppe ist die Mannigfaltigkeit S 3 , aber wahrscheinlich ist das nicht das, wonach Sie suchen.
Außerdem hat jede Lie-Gruppe eine Untergruppe, die ein Torus ist und durch die Exponentialfunktion der Cartan-Subalgebra erzeugt wird. Im Fall von S U ( 2 ) , was von Rang ist 1 , der Torus ist nur ein Kreis. Also noch einmal, das ist wahrscheinlich nicht das, wonach Sie suchen. Entschuldigung, wenn ich nur wahllos Sachen werfe.
@MannyC danke, ich habe die Unterscheidung nicht geschätzt, aber ich weiß jetzt, wonach ich suchen muss, das ist eine große Hilfe.
Ich kann diese Frage nicht nachvollziehen. Ich denke, Sie haben vielleicht einige falsche Eindrücke über Lie-Algebren und ihre Darstellungen bekommen. Können Sie erklären, was Sie gelesen haben, das Sie veranlasst hat, diese Frage zu stellen?
@gsmith Ich habe zunächst gelesen, wie Dirac-Sponsoren in verschiedenen Darstellungen beschrieben werden könnten. Ich nahm dann an, dass der Torus mit der Gruppe verbunden war, und verbrachte eine Weile damit, physikalische Entsprechungen zwischen den Eigenschaften von Spinhalbteilchen und der Topologie der Oberfläche zuzuordnen, und überzeugte mich halb, dass es eine Frage wert war. Wie MannyC mir sagte, befasst sich der Torus mit der Algebra, nicht mit der Gruppe. Ein bisschen Wissen......

Antworten (1)

Betrachten Sie die Realisierung , nicht die Darstellung, der su(2) Lie-Algebra in der sphärischen Basis,

[ S 0 , S ± ] = ± S ± [ S + , S − ] = 2 S ±     ,
in Bezug auf die beiden Winkel θ Und ϕ den 2-Torus in den jeweiligen "Richtungen" umrunden,
S + = ϕ ∂ θ , S − = θ ∂ ϕ , S 0 = ϕ ∂ ϕ − θ ∂ θ   .

Sie können leicht überprüfen, ob sie die Lie-Algebra erfüllen.

Danke, ich glaube nicht, dass es eine eindeutigere Antwort gibt.
Es kann mit Jordan-Karten, Bargmann-Realisierungen usw. als Freudenfeuer der Mathematik verkleidet werden, aber sie würden nur die brutale zugrunde liegende formale Struktur verschleiern.
Darstellung von su(2)su(2)su(2) Lie-Algebra auf einem Torus
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v