Die konjugierte Darstellung in su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)

Cheng & Li gibt folgendes Problem:

Lassen ψ 1 und ψ 2 die Grundlagen für die Spin-1/2-Darstellung von sein s u ( 2 ) und das für den Diagonaloperator T 3 ,

T 3 ψ 1 = 1 2 ψ 1 T 3 ψ 2 = − 1 2 ψ 2
Was sind die Eigenwerte von T 3 Einwirken auf ψ 1 ∗ und ψ 2 ∗ in der konjugierten Darstellung ?

Ich dachte ursprünglich, dass dieses Problem trivial ist, nehmen Sie einfach das komplexe Konjugierte beider Seiten und verwenden Sie die Tatsache, dass T 3 ist echt wertvoll, das zu bekommen T 3 ψ 1 ∗ = 1 2 ψ 1 ∗ , aber das ist falsch.

Gehen wir von der willkürlichen Transformation aus ψ ich ' = U ich j ψ j und komplex konjugieren beide Seiten, erhalten wir ψ ' ich ∗ = U ich j ∗ ψ j ∗ . Aber für spurlose hermitesche Matrizen wie z U , es existiert ein S ∈ s u ( 2 ) so dass S − 1 U S = U ∗ , und so schreiben Sie die vorherige Gleichung in Matrixform:

ψ ' ∗ = ( S − 1 U S ) ψ ∗ ⟹ S ψ ' ∗ = U ( S ψ ∗ )
So S ψ ∗ verwandelt sich als ψ . Das stellt sich in der Pauli-Darstellung heraus S = ich σ 2 , und so:
T 3 ( ψ 2 ∗ − ψ 1 ∗ ) = ( 1 / 2 0 0 − 1 / 2 ) ( ψ 2 ∗ − ψ 1 ∗ )

Was ich nicht verstehe, ist, warum wir nicht einfach die komplexe Konjugation beider Seiten nehmen konnten? Ist diese Menge ψ ∗ nicht das traditionelle "algebraische" komplexe Konjugat von ψ ? Wenn ja, warum könnten wir komplex konjugieren? ψ ich ' = U ich j ψ j bekommen ψ ∗ ? Ich habe das Gefühl, ich dachte, ich hätte die konjugierte Darstellung verstanden, aber das tue ich eindeutig nicht, und ich würde mich über jede Hilfe beim Verständnis freuen.

Haben Sie sich die Definition einer konjugierten Darstellung angesehen?

Antworten (1)

Was ich nicht verstehe, ist, warum wir nicht einfach die komplexe Konjugation beider Seiten nehmen konnten?

Schauen Sie sich die Lie-Algebra an, die alle Darstellungen erfüllen müssen,

[ T j , T k ] = ich ϵ j k m T m .
Die Generatoren sind alle hermitesch und die Strukturkonstanten reell, also ist diese Algebra unter der hermiteschen Konjugation invariant. Es ist auch invariant unter Ähnlichkeitstransformationen T j ↦ S − 1 T j S , die nützliche Basisänderungen liefern.

Überspringe nun die Transposition und konjugiere stattdessen einfach komplex,

[ T j ∗ , T k ∗ ] = − ich ϵ j k m T m ∗ .

Haben Sie eine Darstellung der Algebra? Nicht wirklich, da der Rechtszeichenunterschied den Brei verdirbt - es ist nicht ganz dieselbe Algebra.

Aber warte, − T j ∗ bieten eine Darstellung der Algebra. Außerdem, zum Glück, − T j ∗ = S − 1 T j S , also stellt sich heraus, dass dies nur der ursprüngliche Repräsentant auf einer anderen Basis ist! Die Eigenvektoren haben sich verschoben und verändert, sodass dieselben Eigenwerte lediglich vertauscht sind. Ich nehme an, Sie haben gelernt, wie man S für die fundamentale Wiederholung findet, da Sie es bereits verwendet haben, um Ihr Dublett ψ umzukehren und ein Vorzugszeichen einzufügen – das ist was σ 2 tut.

Betrachten Sie nun die Eigenwerte. Die Eigenwerte von T 3 sind immer gepaart, ± , für alle Darstellungen (alle Spins); und darüber hinaus können alle Generatoren ähnlich rotiert werden T 3 . Also existiert S immer und vermischt lediglich die Eigenwerte: Alle Wiederholungen sind real.

  • Eine kleine Anmerkung: Sie könnten möglicherweise beunruhigt sein, dass a − a ∗ ∼ a Situation würde "real" genannt werden, wenn sie rein imaginär ist. Aber reine Vorstellung ist eben mal real. Dies ist nur ein Artefakt der "Physik"-Wahl der Lie-Algebra-Konvention, mit einem i vor der realen Strukturkonstante in einer Realisierung mit hermiteschen, nicht realen Generatoren. (Die adjungierte Darstellung besteht darin , dass ich reelle Strukturkonstanten multipliziere, also S = 1 1 . Im Grundstudium klassische Mechanik „Kartesische Basis“ normalisiert man die i weg , um echte antisymmetrische Generatoren zu erhalten.) Da spielt ein mickriges Minuszeichen keine Rolle.

Das ist eine gute Sache". Wenn Sie den Antikommutator zweier Generatoren wie oben betrachten und wieder komplex konjugieren würden, wenn es einen nicht verschwindenden sogenannten d -Koeffizienten auf der rechten Seite jenseits der Identität gäbe, würde die Hermitizität erfordern, dass das i fehlt, und so − T j ∗ würde nicht dieselbe Antikommutierungsbeziehung erfüllen ... es gäbe kein solches S, das sie bewahrt.

Für diese reellen Darstellungen verschwindet also d (und die auf diesen d s basierenden Anomaliekoeffizienten verschwinden ebenfalls für alle Darstellungen von SU(2)).

Dies trifft für die größeren SU(N)s nicht ganz zu, da nicht alle ihre Darstellungen real sind. (Sie können dies veranschaulichen, indem Sie sich die Eigenwerte von zB den fundamentalen Rep-Generatoren von SU(3), den Gell-Mann-Matrizen ansehen. Hinweis: sind die Eigenwerte von λ 8 ± -gepaart wie oben?) Aber wie Sie bei genauer Betrachtung sehen können, ist die adjungierte Darstellung immer reell ( i mal die reellen Strukturkonstanten; und Sie wissen vielleicht, wie ihre Eigenwerte gepaart sind).

  • Eine "akademische Nebensache" : Die Konjugationsregel für das Dublett, das Sie illustriert haben, ( ψ 1 , ψ 2 ) ↦ ( ψ 2 ∗ , − ψ 1 ∗ ) , hat besonders viel Glück im komplexen Higgs-Dublett der EW SM. Es ermöglicht Ihnen, es kompakt zu schreiben
    ( ( v + h ) 1 1 + ich π → ⋅ τ → ) ( 0 1 )   ,
    auf dem sein Konjugat aber ist
    ( ( v + h ) 1 1 + ich π → ⋅ τ → ) ( 1 0 )   ,
    von erheblichem Nutzen beim Analysieren der Sorgerechtssymmetrien des SM.
Die konjugierte Darstellung in su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)
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