Warum funktioniert der achtfache Weg?

Hintergrund (überspringen Sie dies, wenn Sie alles wissen)!

Ich habe mir auch Sorgen darüber gemacht, als ich es zum ersten Mal gelernt habe. Grundsätzlich denke ich, dass es am einfachsten ist, zuerst quantenmechanisch an den Achtfachen Weg zu denken und sich später um QFT zu kümmern. Das werde ich in dieser Antwort tun.

In der Quantenmechanik (zumindest nach Wigner) ist ein Teilchen ein Basisvektor in irgendeiner Darstellung der vollständigen Symmetriegruppe der Theorie (Poincare$\times$intern). Fundamentale Teilchen sind definiert als in der (anti)fundamentalen Darstellung der internen Symmetriegruppe.

In achtfacher Weise nehmen wir an, dass der relevante Hamiltonoperator für unsere QM-Theorie ein hat$SU(3)$Symmetrie und schau dir die Folgen an. Wir beschränken unsere Aufmerksamkeit auch darauf, nur 1/2 Fermionen zu drehen. Das bedeutet, dass es per Definition drei fundamentale Teilchen (die Up-, Down- und Strange-Quarks) zusammen mit drei fundamentalen Antiteilchen gibt.

Nun wissen wir aus der grundlegenden QM, dass Mehrteilchenzustände aus Tensorprodukten von Einzelteilchenzuständen aufgebaut sind. Eine nützliche mathematische Art, die möglichen Teilchen aufzuzählen, besteht darin, alle Tensorprodukte der fundamentalen und antifundamentalen Darstellungen zu finden. Diese werden in irreduzible Darstellungen zerlegt, sodass Sie die Anzahl der Freiheitsgrade und ihre Eigenschaften leicht zählen können.

Wie zerlege ich ein Tensorprodukt in eine Summe von Irreps?

Das allgemeine Verfahren ist als Clebsch-Gordan-Zerlegung bekannt. Es ist völlig analog zu dem Prozess, den Sie beim Hinzufügen von Drehimpulsen in QM durchlaufen. Sie können sogar Koeffizienten berechnen, die Ihnen genau sagen, wie sich jeder gegebene Tensorproduktzustand für eine allgemeine Symmetriegruppe zerlegt$SU(N)$, siehe hier .

Natürlich ist diese Komplexität in der Realität oft nicht notwendig, um den Teilchengehalt der Theorie zu bestimmen. Stattdessen können Sie Folgendes tun.

Zur Bestimmung der irrep Zersetzung von$m\otimes n$

1. Zeichnen Sie die Gewichtsdiagramme von$m$und$n$
2. Zeichnen Sie das Gewichtsdiagramm von$m\otimes n$die man erhält, indem man die Gewichte in den ersten beiden Diagrammen auf alle möglichen Arten (vektoriell) addiert. Check: Sie sollten bekommen$mn$Gewichte
3. Finden Sie das "höchste" Gewicht (normalerweise dasjenige mit der größten Entfernung vom Ursprung) und identifizieren Sie, zu welchem ​​Irrep es gehört. Dies beinhaltet die Berechnung der höheren Irreps oder das Nachschlagen ihrer Gewichtsdiagramme. Notieren Sie sich diese irrep.
4. Entfernen Sie alle anderen Gewichte aus dem Diagramm, die dem Irrep für das höchste Gewicht entsprechen, das Sie gefunden haben.
5. Wiederholen Sie die Schritte 3 und 4, bis keine Gewichte mehr übrig sind.

Der Grund dafür ist ziemlich transparent - bei jeder Iteration des Algorithmus identifizieren Sie nur einen invarianten Unterraum. Denken Sie daran, dass Irreps mit ihren höchsten Gewichten gekennzeichnet sind, um das Argument zu vervollständigen.

Wenn Sie weitere Details wünschen, empfehle ich Ihnen, die Notizen von Jan Gutowski zu lesen, insbesondere Abschnitt 4.3.

PS: Lesen Sie einfach Ihr Profil - ich hoffe, Sie haben einen guten Start bei Imperial! Ich werde ab Januar Doktorandin an der Queen Mary sein, also sehen wir uns vielleicht bei einem London Triangle-Treffen.