Warum gibt es kein zweites Baryonen-Oktett?

Diese beiden Abbildungen sind Auszüge aus einer Seite in: A Modern Introduction to Particle Physics , von Fayyazuddin & Riazuddin, 2. Auflage 2000.

Die erste zeigt das bekannte Oktett des gemischten antisymmetrischen Tensors$\:\boldsymbol{8}\:$während die zweite das Oktett des gemischten symmetrischen Tensors zeigt$\:\boldsymbol{8'}\:$. Ich weiß nicht, welche Teilchen, wenn überhaupt, durch das letzte Oktett repräsentiert werden.

Siehe auch meine Antwort hier: Symmetrie in Bezug auf Matrizen . Darin Oktett$\:\boldsymbol{8}\:$wird durch den gemischten antisymmetrischen Tensor erzeugt$\:Y_{ijk}\:$, siehe Gleichungen (B.25) und (B.35), während Oktett$\:\boldsymbol{8'}\:$wird durch den gemischt symmetrischen Tensor erzeugt$\:X_{ijk}\:$, siehe Gleichungen (B.24) und (B.37).

Die folgenden Abbildungen sind Auszüge aus: A Modern Introduction to Particle Physics-Volume 1: Quantum Field Theory and Particles , von Y. Nagashima, Ausgabe 2010.

In 'QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics ', F.Halzen-A.Martin, Ausgabe 1984, treffen wir bezüglich des Spin-up-Protons auf folgendes: Wir nehmen die gemischt-antisymmetrischen und gemischt-symmetrischen Zustände

Dies sind Multipletts, die in produziert werden$\:\rm SU(2)-$Isospin und analog die$\:\rm SU(2)-$Spin-antisymmetrische, symmetrische Multipletts entstehen durch Ersetzen in (2.60), (2.62)

Aus den obigen Anmerkungen schließen wir, dass das echte Baryon$\:(1/2)^{+}\:$Oktett ist eine Kombination der beiden Oktetts mit gemischter Symmetrie$\:\boldsymbol{8},\boldsymbol{8'}$.

Diese Antwort entspricht im Grunde der eigenen Antwort von OP mit etwas anderen Worten.

1. Zuerst brauchen wir eine Formel

   $$\dim (V^{\odot n})~=~\begin{pmatrix} n-1+\dim V \cr n \end{pmatrix} \tag{1}$$ für die Dimension des symmetrischen Tensorprodukts$V^{\odot n}$eines endlichdimensionalen Vektorraums$V$. Der Beweis von Formel (1) bleibt als Übung übrig.

2. Zweitens brauchen wir die Flavour-Spin-Gruppe

   $$\begin{align}H~:=~&SU(3)_F\times SU(2)_S\cr ~\cong~&\begin{pmatrix} SU(3)_F \cr & SU(2)_S \cr && 1\end{pmatrix}_{6\times 6}~~\cr ~\subseteq~& SU(6)~=:~G\end{align}\tag{2}$$ ist eine Untergruppe von$SU(6)$, dh einheitlich$6\times 6$Matrizen mit Einheitsdeterminante. Dies bedeutet, dass jede Irrep von$G$zerlegt über Verzweigungsregeln in eine direkte Summe von irreps for$H$.

3. Drittens ein Quark$q$verwandelt sich unter$H$in der fundamentalen Darstellung

   $${\bf 3} \otimes {\bf 2} ~\cong~{\bf 6},\tag{3}$$ die isomorph zum fundamentalen irrep von ist$SU(6)$. Als nächstes postulieren wir, dass die$SU(6)$Gruppe ist eine ungefähre Symmetrie von QCD. Die 3 Quarks müssen im vollsymmetrischen Tensorprodukt sitzen${\bf 6}^{\odot 3}$. Auf diese Weise, wenn die antisymmetrische$SU(3)_C$Farbe Singulett${\bf 1}_A$berücksichtigt wird, wird die Gesamtwellenfunktion für die 3 Fermionen total antisymmetrisch, wie es sein sollte, vgl. das Pauli-Ausschlussprinzip.

4. Viertens zerlegen wir das Tensorprodukt von$H$-irreps in eine direkte Summe von$H$-irreps

   $$\begin{align}{\bf 56}_S~\stackrel{(1)}{=}~&{\bf 6}^{\odot 3} \stackrel{(3)}{\cong}~\left({\bf 3} \otimes {\bf 2} \right)^{\odot 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\odot 3}\otimes {\bf 2}^{\odot 3}\oplus {\rm Adj}(SU(3)_F)\otimes {\bf 2} \cr \stackrel{(1)}{=}~&\underbrace{{\bf 10}_S}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{decuplet}\end{array}}\otimes \underbrace{{\bf 4}_S}_{j=\frac{3}{2}} \oplus \underbrace{\color{red}{{\bf 8}_M}}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{octet}\end{array}}\color{red}{\otimes} \underbrace{\color{red}{\bf 2}}_{j=\frac{1}{2}},\end{align}\tag{4}$$ wobei wir das gesuchte halbe Spin-Oktett markiert haben$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$in rot.

5. Jetzt möchte OP das Baryon-Oktett anhand des unsymmetrisierten Tensorprodukts identifizieren

   $$\begin{align} {\bf 6}^{\otimes 3} \quad\cong\quad& \begin{array}{rcl} [~~]& [~~] & [~~] \end{array} \quad\oplus~~ 2\cdot~~\begin{array}{rl} [~~]&[~~]\cr [~~]\end{array} \quad\oplus\quad \quad\begin{array}{c} [~~]\cr [~~]\cr [~~] \end{array} \cr \quad\cong\quad&{\bf 56}_S \oplus 2\cdot {\bf 70}_M \oplus {\bf 20}_A .\end{align}\tag{5}$$ In ähnlicher Weise gibt es die ursprüngliche Fusionsregel von OP für den Geschmack $${\bf 3}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A,\tag{6}$$ und es gibt eine Clebsch-Gordan- Regel für Spin $${\bf 2}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2}.\tag{7}$$ Beachten Sie die Multiplizität von 2 in beiden Gleichungen. (6) & (7). In Bezug auf die Flavour-Spin-Gruppe$H$, es sind nicht nur 2, sondern tatsächlich$2\times 2=4$Spin-halbe Oktetts$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$, warum gibt es dann nicht noch 3 Baryonen-Oktette, vgl. Titelfrage von OP? Wir berechnen: $$\begin{align} ({\bf 3} \otimes & {\bf 2} )^{\otimes 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\otimes 3} \otimes {\bf 2}^{\otimes 3}\cr ~\stackrel{(6)+(7)}{\cong}&~\left({\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A\right) \otimes \left({\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2} \right)\cr ~\cong~& \underbrace{\left({\bf 10}_S \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \right)}_{={\bf 56}_S} \cr &\oplus 2\cdot \underbrace{\left( {\bf 10}_S \otimes {\bf 2} \oplus {\bf 8}_M \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 2}\right)}_{={\bf 70}_M} \cr &\oplus \underbrace{\left( \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 4}_S\right)}_{={\bf 20}_A}.\end{align} \tag{8}$$ Wir sehen, dass nur 1 der 4 halben Spin-Oktette$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$sitzt im vollsymmetrischen Flavor-Spin-Tensorprodukt${\bf 6}^{\odot 3}$wie es die Farbbegrenzung erfordert. Dies beantwortet die Titelfrage von OP.

Verweise:

1. G. 't Hooft, Introduction to Lie Groups in Physics , Skript zur Vorlesung, p. 58. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .

2. J. Chyla, Quarks, Partons und QCD, Vorlesungsunterlagen, Abschnitt 2.7. Die pdf-Datei ist hier verfügbar . (Huttipp: Evans .)

Ich glaube, ich habe meine Verwirrung gelöst, also dachte ich, ich sollte es als Antwort posten. Die ursprüngliche Frage war nicht gut gestellt; Hoffentlich hilft dies allen anderen, die ähnliche Missverständnisse haben.

Um den Spin im Auge zu behalten, ist der Zustandsraum für ein einzelnes Quark das Tensorprodukt des dreidimensionalen Flavor-Raums mit der zweidimensionalen Spin-Darstellung von SU(2). Dies wird jedoch nicht als Darstellung von SU(3) x SU(2) angesehen, sondern als Darstellung von SU(6), die dieses Produkt als Untergruppe enthält. Mit anderen Worten, Sie können Aromen in Drehungen umwandeln und umgekehrt. Als Darstellung von SU(6) zerfällt der Tensorwürfel dieser standardmäßigen 6-dimensionalen Darstellung in Teile, von denen einer der symmetrische Würfel ist. Dies ist eine irreduzible 56-dimensionale Darstellung. Dies zerlegt sich unter der Untergruppe SU(3) x SU(2) in eine direkte Summe aus zwei Teilen: Das eine ist das SU(3)-Dekuplett, tensoriert mit der (4-dimensionalen) Spin-3/2-Darstellung von SU(2) ,

Wenn Sie den Spin vergessen, ist das Spin-1/2-Oktett, das hier erscheint, eigentlich eine Mischung aus Begriffen aus den beiden SU(3)-Oktetten in der Zerlegung des Tensorwürfels aus der ursprünglichen Frage. Mit anderen Worten, die tatsächliche Wellenfunktion eines Protons ist eine Summe aus zwei Termen, von denen einer Terme aus einem SU(3)-Oktett und einer Terme aus dem anderen enthält (beide mit geeigneten Spin-Wellenfunktionen gespannt).

Ich fand diese Notizen von Jiří Chýla sehr hilfreich, um mein Missverständnis auszuräumen.

Ich denke, die Antwort ist, dass es eine flavour-symmetrische Oktett-Darstellung und eine flavour-antisymmetrische Oktett-Darstellung gibt, während das Decuplet vollständig symmetrisch ist. Wenn Sie also die Spin- und Flavor-Wellenfunktion eines Baryons für ein Oktett-Baryon betrachten, haben Sie:$\chi(spin)\cdot\phi(flavor)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^{1/2}_s\cdot 8_s+\chi^{1/2}_a\cdot 8_a)$. wobei "s" symmetrisch und "a" antisymmetrisch bezeichnet. 1/2 hochgestellt bezeichnet ein 1/2 Spin-Partikel.

Ich dachte, dass die Lösung des Problems vielleicht darin liegen würde, dass die beiden Oktettdarstellungen, in denen sich das Tensorprodukt 3x3x3 von SU(3) aufspaltet, zwei äquivalente Darstellungen sind. Das ist richtig, was Chyla in seinen Notizen sagt. So kann eine Darstellung von der anderen erhalten werden, indem eine Rotation im Flavour-Raum durchgeführt wird, und die beiden Oktetts sind physikalisch nicht unterscheidbar