Dieselbe U(1)U(1)U(1)-Ladung für das SU(2)SU(2)SU(2)-Dublett

Wenn eine Theorie erklärt wird, eine Symmetriegruppe zu haben$G$, es bedeutet abstrakter, dass die Gruppe$G$wirkt nach einigen Regeln auf die Bestandteile (Felder usw.) und die Theorie (Lagrange usw.) bleibt unter solchen Transformationen invariant.

Oft bilden die Bestandteile (Felder etc.) eine (lineare) Darstellung$V$aus der Gruppe$G$. Wenn die Darstellung (vollständig) reduzierbar ist, können wir sie in irreps zerlegen. Die fundamentalen Objekte (Felder usw.) [die wir betrachten] werden aus diesem Grund oft gewählt, um sie unabhängig von der Theorie zu transformieren.

Jetzt ein irrep$V$einer Produktgruppe$G=G_1\times G_2$hat die Form eines Tensorprodukts$V\cong V_1 \otimes V_2$von irrep$V_1$Und$V_2$für die Gruppen$G_1$Und$G_2$, bzw.

Die Irreps der abelschen Gruppe$U(1)$sind alle$1$-dimensional und durch eine Ganzzahl gekennzeichnet$n\in \mathbb{Z}$nannte die Ladung.

Um also auf die Frage von OP zurückzukommen, in der elektroschwachen Theorie mit der Gruppe$G=SU(2)\times U(1)$, die Feldtransformation per Definition als irrep$V\cong V_1 \otimes V_2$von$SU(2)\times U(1)$. Insbesondere die irrep$V$trägt ein$U(1)$Ladung, die (modulo verschiedener Normalisierungskonventionen) die schwache Hyperladung ist . Zusammenfassend: Der Hauptpunkt ist, dass die schwache Hyperladung per Definition / Konstruktion festgelegt ist.

Vielleicht ist folgender Kommentar hilfreich: Wenn uns ein Tensorprodukt gegeben ist$V=V_1\otimes V_2$, wo wir davon ausgehen

• (ich)$V$ist eine (vollständig) reduzierbare Darstellung von$SU(2)\times U(1)$,

• (ii)$V_1$ist ein irrep von$SU(2)$, Und

• (iii)$V_2$ist ein$1$-dimensionale Darstellung von$U(1)$,

dann folgt das$V_2$(Und$V$) muss auch irreps sein. Und daher$V_1$trägt eine feste schwache Überladung, vgl. Titelfrage von OP.