Hypercharge für U(1)U(1)U(1) im SU(2)×U(1)SU(2)×U(1)SU(2)\times U(1)-Modell

1) Erstens bezieht sich Hyperladung normalerweise auf die (starke) Hyperladung $Y$im Zusammenhang mit der starken Wechselwirkung und dem (starken) Isospin $(\vec{I}^2,I_3)$. Im Gegensatz dazu befasst sich die Frage (v1) mit dem schwachen Isospin $(\vec{T}^2,T_3)$und die schwache Hyperladung $Y_W$der elektroschwachen Lie-Gruppe $SU(2)\times U(1)$des Glashow-Salam-Weinberg (GSW)-Modells .

2) Zweitens gibt es ein Normalisierungsproblem. Einige Autoren (z. B. Peskin und Schroeder, OP) definieren

$$Y_W~:=~Q-T_3,$$

wo

$$Q~=~\frac{q}{e}$$

ist die elektrische Ladung in Einheiten der Elementarladung$e$, während andere Autoren (zB Wikipedia ) haben

$$Y_W~:=~2(Q-T_3).$$

Wenn OP die letztere Konvention verwendet, ist seine "$-1/2$" würde sich in das Natürlichere verwandeln "$-1$", ha-ha. :-) Nun, ich scherze: Eine Wahl der Normalisierung erklärt natürlich nichts.

3) Ein Elementarteilchen im GSW-Modell transformiert sich in eine Lie-Algebra-Darstellung

$$\rho: L~\to~ gl(V)$$

der elektroschwachen Eichung Lie-Algebra$su(2) \oplus u(1)$. (Es gibt auch Grand Unified Theories (GUT) mit größerer Eichung Lie-Algebren, z. B.$su(5)$, vgl. Arriveros Kommentar. Hier konzentrieren wir uns jedoch der Einfachheit halber hauptsächlich auf die ursprüngliche Frage von OP (v1).

$$x~=~\sum_a x^at_a~\in~ L$$

in einer abstrakten Lie-Algebra $L$kann als Linearkombination einiger Basiselemente geschrieben werden$t_a$. Das$t_a$sind auch als Lie-Algebra-Generatoren bekannt. Wenn man die Basis ändert, erhält man natürlich einen neuen Generatorsatz$t^{\prime}_a$.

4) Eine nicht-Abelsche Eichtheorie hat ein Lie-Algebra-wertiges Eichfeld

$$A_{\mu}~=~\sum_a A_{\mu}^a t_a.$$

Im Fall der elektroschwachen Theorie die Lie-Algebra-Generatoren$t_a$sind

$$(T_1,T_2,T_3,Y_W),$$

wo$(T_1,T_2,T_3)$sind die Generatoren von$su(2)$. In diesem Sinne die schwache Hyperladung$Y_W$spielt im GSW-Modell eine Doppelrolle:

1. Zuerst,$Y_W$ist ein Lie-Algebra-Generator für die$u(1)$Lüge Subalgebra. In irreduzibler Darstellung$\rho: u(1)\to {\rm Mat}_{1 \times 1}(\mathbb{C})$der Lie-Algebra$u(1)$, es wird etwas$1 \times 1$Matrix, z.
   

   $$\rho(Y_W)~=~-1/2.$$ Oft machen sich Autoren nicht die Mühe, die Repräsentationskarte zu erwähnen$\rho$ausdrücklich.

2. Zweitens,$Y_W$beschreibt eine spezielle Art von physikalischer Ladung, die sogenannte schwache Hyperladung , die von der Art des Elementarteilchens abhängt.

Solange man die Basis nicht ändert und bei der gleichen Normalisierung bleibt (vgl. Punkt 2 oben!), sind diese beiden Doppelrollen voll konsistent.

Die Hyperladung im elektroschwachen Modell wird vollständig durch die elektrische Ladung der beobachteten Teilchen bestimmt. In einer üblichen Normalisierung, der Peskin-Schroder-Normierung, ist es nur die durchschnittliche elektrische Ladung aller Teilchen, die in einer schwachen SU(2)-Darstellung enthalten sind. Die schwache SU(2)-Darstellung wird durch die Teilchen definiert, die durch schwache Wechselwirkungen ineinander übergehen können, so dass das (linkshändige) Elektron und das Neutrino Partner sind.

Schwache SU(2)-Darstellungen sind wie Spin – sie haben einen Zustand für jeden Wert von „L_z“, genannt I_z, der von –m bis m läuft. Nehmen wir zum Zweck dieser Diskussion an, Sie haben ein schwaches SU(2)-Spin-2,5-Teilchen mit Hyperladung "Y". Dann werden die tatsächlichen Werte der elektrischen Ladung der Teilchen sein

-2,5 + Y, -1,5 + Y, -0,5 + Y, 0,5 + Y, 1,5 + Y, 2,5 + Y

Y ist der Offset der elektrischen Ladung, und der SU(2)-Spinwert definiert die Reichweite. Die Schritte sind immer eine Einheit. Das ist die Bedeutung der Formel

$$Q = I_z + Y$$

Für die beobachteten schwachen Partner, das Elektron-Neutrino und das Elektron, sind die Ladungen 0,-1, also ist die Hyperladung der Mittelwert oder -1/2. Für die schwachen Partner Up-Quark, Down-Quark sind die Ladungen 2/3, -1/3, also ist die Hyperladung der Durchschnitt der beiden: 1/6.

Aber nur die linkshändigen Teile des Elektrons und die Quarks sind SU(2)-Partner. Die rechtshändigen Teile haben keinen Partner. Die rechtshändigen Teile haben ein Y, das nur ihre elektrische Ladung ist. Das rechtshändige Elektron hat ein Y von -1, das rechtshändige Up-Quark Y=2/3 und das rechtshändige Down-Quark Y=-1/3. Das ist nur so, dass sie die gleiche elektrische Ladung wie ihr linkshändiger Partner haben, so dass sie zusammen ein massives geladenes Teilchen bilden können.

Eine natürliche Normalisierung der Hyperladung ist weder die von Wikipedia noch die von Peskin Schroeder. Dies ist der größte rationale Wert, der allen Standardmodellpartikeln ganzzahlige Hyperladungen verleiht. Dieser Wert ist 1/6. Als Vielfaches von 1/6 haben alle Standardmodellpartikel eine Hyperladung von 1,2,3,4 und 6 Einheiten.

Dies setzt jedoch voraus, dass das U(1) der Hyperladung mit seinen verrückten Werten grundlegend ist, was äußerst unwahrscheinlich ist. Die natürlichste Normalisierungswahl ergibt sich aus der Einbettung von SU(2) und SU(3) in SU(5) (oder eine höhere GUT des gleichen Typs, wie SO(10) oder E6). Bei dieser Einbettung stellen Sie sich SU(5) als eine 5-mal-5-Matrix vor, der obere 2-mal-2-Block ist die SU(2), der untere 3-mal-3-Block ist SU(3) und das U(1) besteht aller diagonalen Phasenmatrizen (a,a,b,b,b) mit a^2b^3=1, so dass diese Phase erzeugt wird durch

$\mathrm{diag}(1/2, 1/2, -1/3, -1/3, -1/3)$

Das heißt, wenn Sie um die Diagonalmatrix mit drehen$(e^{i\theta/2},e^{i\theta/2}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3})$auf der Diagonalen sind Sie immer noch in SU(5), aber Sie sind nicht in SU(2)xSU(3).

Es geht um die definierende Darstellung von SU(5) plus die antisymmetrische Zwei-Tensor-Darstellung. Die Zerlegung dieser beiden Darstellungen erklärt die Hyperladungszuweisungen des Standardmodells einfach und natürlich. Siehe diese Antwort: Gibt es eine prägnante, aber gründliche Aussage zum Standardmodell?

Die kurze Antwort auf den Faktor 1/2 ist die am Ende$e_L$Ladung bekommen muss$-e$während$\nu_L$muss eine Gebühr von Null erhalten.

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) ~~=~~ \left[-\frac{g}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & ~~0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\sin\theta_w ~~+~~ y\frac{g'}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\cos\theta_w\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Wobei der erste Term auf der rechten Seite der Beitrag der dritten Komponente ist ($\sigma^z$) des SU(2)-Felds und der zweite Term stammt von der mit dem U(1)-Feld verbundenen Hyperladung. Die Mischung der beiden wird durch den Weinberg-Winkel bestimmt$\theta_w$

Andererseits für die elektrische Ladung von$e_R$wir haben

$-e\left(e_R\right) ~~=~~ y\,g'\cos\theta_w(e_R)$

So$e_L$hat nur die Hälfte der Hyperladung als$e_R$weil es die andere Hälfte seiner elektrischen Ladung aus seiner Mischung mit der dritten Komponente des SU(2)-Feldes erhält. Die Lösung für beide ist natürlich gegeben durch:

$g=\frac{-e}{\sin\theta_w}, ~~~~~~~~ g'=\frac{-e}{cos\theta_w}$

(unter Verwendung der Vorzeichennotation von Weinberg), was die erste Gleichung vereinfacht zu:

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) ~~=~~ \left[\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & ~~0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) ~~-~~ y\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Dies zeigt deutlich, dass es 1/2 der elektrischen Ladung von der Hyperladung des U(1)-Feldes und die Hälfte der elektrischen Ladung von der dritten Komponente des SU(2)-Feldes erhält.

Gruß Hans