SU(2)SU(2)SU(2) Invariante Lagrange-Funktion

Die Idee der$C$Matrix ist das, wenn$\Phi$verwandelt sich wie$\Phi\rightarrow U\Phi$, Wo$U$eine Darstellung von SU(2) ist, dann auch$\Phi^c\rightarrow U\Phi^c$. Sie können es selbst mit dem ausrechnen$\epsilon$Matrix für den Fall der Fundamentaldarstellung.

Nehmen wir nun das komplexe Konjugat, das wir haben$\Phi^\dagger\rightarrow \Phi^\dagger U^{-1}$(ähnlich für$\Phi^c$), und so

$$\Phi^\dagger \tau^a \Phi\rightarrow \Phi^\dagger\left( U^{-1}\tau^a U\right)\Phi=R(U)^a_{\,b}\Phi^\dagger\tau^b\Phi$$ Wo$R(U)$ist die adjungierte Darstellung von SU(2).

Die Begriffe, wie Sie sie geschrieben haben, sind es also nicht$SU(2)$invariant, sie sind in der adjungierten Darstellung. Aber wenn Sie in das Papier schauen, werden sie mit einem anderen Faktor in der adjungierten Darstellung kontrahiert (mit index$a$), und somit ist der gesamte Term mit beiden Faktoren invariant.

Sie unterdrücken die SU(2)-Indizes. Wenn dies Ihr erster Durchgang ist, haben Sie jedes Recht, verwirrt zu sein. Ich werde mit meinen Indizes sehr explizit sein, damit Sie die zugrunde liegende Struktur sehen können.

Satz: Das Produkt zweier Darstellungen von$\phi, \psi$von SU(2) ist invariant genau dann, wenn ihre Indizes mit einem invarianten Tensor (gleicher Darstellung) von SU(2) kontrahiert sind.

Das ist ein bisschen wie ein Schluck, aber das Folgende sollte klarstellen. Es gibt zwei invariante Tensoren der 2 rep von$SU(2)$(1)$\epsilon_{ab}$und 2)$\delta_{\bar{a} b}$. Der Balken bezeichnet einen Index, der sich unter der komplex konjugierten Darstellung umwandelt.

Lassen Sie uns nun Ihre beiden Vektoren aufschreiben$\Phi$, Und$\Phi^\dagger$explizit mit Indizes. Das würde aussehen

$$\Phi \sim \Phi_a \qquad \Phi^\dagger \sim \Phi^\dagger_\bar{a}$$

Hier ist das Problem, das ich mit der Frage habe : Wie die Frage formuliert ist, ist sie im Allgemeinen einfach nicht wahr. Wie im ersten Absatz unter dem "Theorem" erwähnt, sind die einzigen zwei invarianten Kontraktionen von zwei SU(2)-Dubletts

$$\Phi^\dagger_\bar{a} \delta_{\bar{a} b} \Phi_b \sim \Phi^\dagger \Phi$$

Und

$$\Phi_a\Phi_b \epsilon_{ab} \sim \Phi \Phi$$ .

Letzteres wird als Singulett-Darstellung bezeichnet, wobei ich auf der rechten Seite die Notation "unterdrückter Index" jeder Kontraktion geschrieben habe.

Mögliche Lösung : Ich vermute , dass die Zeitung davon ausgeht$\Phi$transformiert in die adjungierte Darstellung von SU(2) (auch als 3 bezeichnet ). Wenn dies der Fall ist, dann ist tatsächlich die Kontraktion zwischen der 3 und einer weiteren 3 durch gegeben

$$\Phi^\dagger_{i} T^a_{ij} \Phi_j$$

Wo$T^a$ein Erzeuger der Fundamentalen von SU(2) ist, tatsächlich eine Invariante der adjungierten Darstellung von SU(2). Wenn Sie sich die eichkovariante Ableitung von QCD ansehen, ist dies genau dasselbe (außer mit SU (3)).

Schlussfolgerung : Die zwei verschiedenen Invarianten, von denen Sie sprechen, sind für zwei verschiedene Darstellungen von SU (2). In der Tat fast immer, wenn Sie sehen$\Phi^\dagger T^a \Phi$sie sprechen fast immer über den Adjungierten von SU(3) (die 8 von SU(3)) und nicht über die 3 von SU(2). Aber der Punkt ist, dass die beiden Invarianten, die Sie geschrieben haben, zwei verschiedenen Darstellungen von SU (2) entsprechen (der Grund- und der Adjoint) und daher niemals in derselben Lagrangian erscheinen können (es sei denn, Sie statten Ihre Wiederholungen mit beiden Indizes aus), Sie werden es nur tun sehe sie in verschiedenen Theorien.