Spontane Symmetriebrechung von SU(2)SU(2)SU(2) in reellen und komplexen Skalarfeldern

Question

Spontane Symmetriebrechung von SU(2)SU(2)SU(2) in reellen und komplexen Skalarfeldern

Physik
Gruppentheorie
Symmetriebruch
lagrangescher Formalismus
Quantenfeldtheorie
Repräsentationstheorie

Benutzer196574

Hier ist ein Spielzeugproblem, dessen Ziel es ist, mir zu helfen zu verstehen, wie man globale Symmetrien in Untergruppen aufteilt und unter welchen Umständen dies möglich ist. Meine Frage ist : Beeinflusst ein Feld, das real oder komplex ist, die Leichtigkeit, mit der globale Symmetriegruppen in Untergruppen zerfallen?

Betrachten Sie ein reelles Skalarfeld $\phi$ im $\mathbb{3}$ Darstellung von $SU(2)$ :

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{A} \partial^{μ} ϕ_{A} - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{A} ϕ_{A} - (ϕ^{A} ϕ_{A} - v^{2})^{2}

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^a\partial^{\mu}\phi_a -\frac{1}{2}m^2\phi^a\phi_a -(\phi^a \phi_a - v^2)^2$

Hier sind die Generatoren die entsprechenden $SO(3)$ , also ergibt ihre Potenzierung echte Rotationsmatrizen,

T^{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ich \\ 0 & - ich & 0 \end{matrix}), T^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - ich \\ 0 & 0 & 0 \\ ich & 0 & 0 \end{matrix}), T^{3} = (\begin{matrix} 0 & ich & 0 \\ - ich & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$T^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^3 = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Unter spontaner Symmetriebrechung, dem Feld $\phi^a = \tilde{\phi^a} + s^a$ , Wo $s^a$ ist ein reeller Vektor, dessen Betrag ist $v$ . Wir werden feststellen, dass die globale Symmetrie auf eine nicht-triviale Untergruppe zerfällt, auf die sie einwirkt $\tilde{\phi^a}$ Wenn $s^a$ ist unter der Untergruppe unveränderlich.

Beachten Sie, dass $(r^a) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v \end{pmatrix}$ ist invariant unter der Potenzierung von $T^3$ ; das heißt, wenn wir das haben $s^a = r^a$ , Dann $\tilde{\phi^a}$ ist unveränderlich unter der $U(1)$ Untergruppe von $SU(2)$ generiert durch $T^3$ .

Weil $SU(2)$ kann jeden reellen Vektor um den Betrag drehen $v$ auf zu $r^a$ , können wir immer nehmen $s^a = r^a$ , und so werden wir es immer haben $\tilde{\phi^a}$ invariant unter a $U(1)$ Untergruppe von $SU(2)$ .

Vergleichen Sie dies mit einem komplexen Skalarfeld $\psi$ im $\mathbb{3}$ Darstellung:

L = \partial_{μ} ψ^{† A} \partial^{μ} ψ_{A} - M^{2} ψ^{† A} ψ_{A} - (ψ^{† A} ψ_{A} - v^{2})^{2}

$\mathscr{L} = \partial_{\mu}{\psi^{\dagger a}}\partial^{\mu}\psi_a -m^2{\psi^{\dagger a}}\psi_a -({\psi^{\dagger a}} \psi_a - v^2)^2$

Hier werde ich die Generatoren nehmen, um Aktionen zu gruppieren, die die Real- und Imaginärteile mischen:

T^{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), T^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - ich & 0 \\ ich & 0 & - ich \\ 0 & ich & 0 \end{matrix}), T^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$T^1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

Unter spontaner Symmetriebrechung, dem Feld $\psi^a = \tilde{\psi^a} + s^a$ , Wo $s^a$ ist ein komplexer Vektor, dessen Betrag ist $v$ . Wir werden feststellen, dass die globale Symmetrie auf eine nicht-triviale Untergruppe zerfällt, auf die sie einwirkt $\tilde{\psi^a}$ Wenn $s^a$ ist unter der Untergruppe unveränderlich.

Beachten Sie, dass $(r_\alpha^a) = \begin{pmatrix} 0 \\ ve^{i\alpha} \\ 0 \end{pmatrix}$ ist invariant unter der Potenzierung von $T^3$ für willkürlich $\alpha$ ; das heißt, wenn wir das haben $s^a = r_\alpha^a$ , Dann $\tilde{\phi^a}$ ist unveränderlich unter der $U(1)$ Untergruppe von $SU(2)$ generiert durch $T^3$ .

Weil $SU(2)$ kann nicht jeden komplexen Vektor mit Betrag drehen $v$ auf zu $r_{\alpha}^a$ (Ich glaube für jeden $\alpha$ , aber bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege), können wir nicht immer nehmen $s^a = r^a$ , und so werden wir es nur manchmal haben $\tilde{\psi^a}$ invariant unter a $U(1)$ Untergruppe von $SU(2)$ .

Ist diese Aufschlüsselung richtig? Das heißt, wir haben garantiert immer einen $U(1)$ Untergruppe bleibt im ersteren Fall erhalten, während wir im letzteren Fall nicht garantiert haben, dass a $U(1)$ Untergruppe erhalten?

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Kosmas Zachos · Answer 1

Sie haben das Setup ein bisschen durcheinander gebracht, und daher werden die Fragen, die Sie annehmen, gebeten.

Sie müssen zuerst feststellen, dass Ihre erste Aktion SO(3)-invariant ist, also wird, wie Sie richtig bemerken, SO(3) in SO(2), Ihr ununterbrochenes U(1), zerlegt.

Ihre zweite, komplexe Aktion ist jedoch tatsächlich SO(6)-invariant, wenn Sie sie nur als Theorie von 6-Vektoren, den Real- und Imaginärteilen Ihrer komplexen Skalare, geschrieben hätten. Das Potential bricht SO(6) dieser Theorie zu SO(5), das 10 ununterbrochene Generatoren hat, nicht nur einen. Ihre suboptimale sphärische Basis für die SO (3) -Untergruppe von SO (6), die Sie in Betracht ziehen, macht dies schwer zu erkennen. Sie haben also nicht nur ein überlebendes U(1), sondern auch ein überlebendes SO(5).

Ein paar technische Details.

Die erste Basis, die Sie schreiben, sind hermitische imaginäre Matrizen, daher sind ihre Exponentiale nur echte orthogonale Matrizen, wenn sie mit i multipliziert werden . Sie können die i genauso gut wegwerfen, um zu SO(3) und reellen Strukturkonstanten zu gelangen.
Die zweite, kugelförmige Basis, die Sie verwenden, ist genau äquivalent zur ersten, der in Wikipedia bereitgestellten Ähnlichkeitstransformation, die dies erreicht . Sie erreichen also nichts, indem Sie es verwenden, außer dass Sie den Schlüsselpunkt für den Zugriff undurchsichtig machen. Wenn Sie dieselbe Basis verwenden würden, würden Sie sehen, dass die SO(3)-Untergruppe, die sie überspannen, eine direkte Summe von zwei 3×3-SO(3)-Blöcken, die in 6×6-SO(6)-Matrizen eingebettet sind, die ununterbrochenen nicht überlappt SO(5)-Matrizen und hilft Ihnen daher nicht, ihre Bruchstruktur zu untersuchen, insbesondere die überlebenden Generatoren: Die SO(3)-Untergruppe, die Sie geschrieben haben, ist vollständig kaputt. Sie können die 15 Generatoren von SO(6) in der verallgemeinerten Form Ihrer ersten (Rotations-)Basis schreiben, kleben Sie Ihr ran der unteren Komponente, und beobachten Sie die 10 SO(5)-Matrizen, die die 0-Komponenten gegeneinander rotieren.
Sie könnten all dies natürlich in komplexe Notation übersetzen, aber warum sich die Mühe machen?
Die Antwort auf Ihre nominelle Frage lautet jedenfalls: Ja, die Realität bzw. Komplexität der Darstellung wirkt sich sehr stark auf das Aufbrechen der betreffenden Gruppe aus. Erinnern Sie sich an das vollständige Aufbrechen im Standardmodell mit einer komplexen Dublett-Darstellung; in scharfem Kontrast zum Georgi-Glashow-Modell, mit echter Triplett-Darstellung. Und die treuhänderische SO(4) ~ SU(2)×SU(2)-Symmetrie des Higgs-Potentials.

Argh, es ist mir ziemlich peinlich, dass ich übersehen habe, dass meine zweite Theorie war $SO(6)$ unveränderlich! Vielen Dank, dass Sie skizziert haben, wie die ungebrochenen $SO(5)$ Matrizen würden die nicht überlappen $SO(3)$ Blöcke.
Als Trost, wenn es explizite Bruchterme von SO (6) zu Ihrem SO (3) gäbe, dann würde tatsächlich das gesamte SO (3) durch das komplexe Triplett gebrochen, wie Sie bemerkt haben. Etwas Analoges passiert beim Standardmodell mit dem komplexen Dublett, das die SU(2) komplett bricht ... es ist die Hyperladung, die den Tag rettet ...

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Benutzer196574

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Kosmas Zachos

Benutzer196574

Kosmas Zachos

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