Wie findet man die verbleibende Untergruppe, nachdem eine lineare Kombination von Higgs-Feldern ein VEV erhält?

Folge den Goldsteinen! Ich würde erwarten, dass jedes nützliche Lehrbuch über Symmetriebrechung, das das Goldstone-Theorem in jeder Tiefe abdeckt, Ihnen genau sagt, wie Sie die kaputten Generatoren und damit auch die überlebenden finden. Manchmal jedoch verlieben sich Texte in mathematische Abstraktion und ihre Botschaft wird für Studenten verdeckt.

Hier ist das Sitz-der-Hose-Verfahren, das Sie, wenn Sie es beherrschen, in Mathematik abstrahieren können, um Ihre Freunde (meistens) zu verwirren - das Leben ist zu kurz, um eine Entschuldigung dafür zu finden. Ich stelle es hier zur Verfügung, da Ihre seltsame formale Metapher oben möglicherweise einen entscheidenden Punkt der beteiligten linearen Algebra übersieht. Aber ich werde alle Symmetrien brechen, in diesem Fall SO(3). Das Potenzial ist wichtig. Sie können die Gruppe für überlebende Symmetrien auf ein höheres N erweitern, aber der Punkt ist, die gebrochenen Symmetrien richtig zu verfolgen!

Betrachten wir ein doppeltes SO(3) σ -Modell mit zwei reellen Higgs-Tripeln, also im Vektor irrep,$\Phi_1$Und$\Phi_2$. Nehmen Sie das Potenzial, mit Vorbedacht, zu sein

$$V\propto (\vec{\Phi_1} ^2 -a^2)^2 + (\vec{\Phi_2} ^2 -b^2)^2 + \lambda (\vec{\Phi_1}\cdot \vec{\Phi_2} )^2.$$ Die Funktion des letzten Terms mit streng positivem λ besteht darin, die Ausrichtung der VEVs der beiden Tripel zu verhindern, sodass sie der Einfachheit halber so gewählt oder gedreht werden können, dass sie wlog sind. $$\langle \vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \langle \vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} 0 \\ b\\ 0 \end{array} \right)$$ .

Nun, der zentrale Punkt von SSB, der vermutlich in Ihren Texten betont wird, ist das Verschwinden oder Nichtverschwinden der Drehungen des Higgses, die im Vakuum ausgewertet werden, also also für die infinitesimalen Winkel θ, die gemäß den entsprechenden Generatoren bezeichnet sind$L_x,L_y,L_z$sie haften an,

$$\langle \delta\vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \theta_z a\\ -\theta_y a \end{array} \right) \qquad \langle \delta\vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} -\theta_z b \\ 0\\ \theta_x b \end{array} \right)$$ .

Das Nichtverschwinden dieser Transformationsvevs signalisiert Goldstone-Modi der defekten Generatoren, die den auf der rechten Seite vorhandenen Winkeln entsprechen. Das heißt, der 1. Higgs bricht$L_y,L_z$,
und die zweite$L_x,L_z$, aber das ist der Goldston φ des Gebrochenen$L_z$? Beachten Sie die (nicht normalisierte) Kombination$\langle \delta\varpi\rangle=\langle \delta (b\Phi^y_1 +a\Phi^x_2 )\rangle=0$, es ist also nicht der Goldston der Gebrochenen$L_z$. Stattdessen ist seine orthogonale Kombination,$\phi=(a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2 )$ist, damit$\langle \delta (a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2)\rangle = \theta_z (a^2+b^2)$. Weitere Anmerkung natürlich ,$\langle \phi\rangle=0$. (Natürlich,$\langle \varpi\rangle=0$, sowie.)

Es ist auch aufschlussreich, den Vakuumwert der zweiten Variation des Potentials zu berechnen, der nicht diagonalen 6x6-Massenmatrix,$\langle \delta^2 V/\delta \phi_i \delta \phi_j\rangle$, um dies zu bemerken, gibt es 3 Null- und drei nicht verschwindende Eigenwerte: Neben den beiden oben erwähnten ursprünglichen, offensichtlichen Goldstons ist der dritte Null-Eigenvektor genau der neue Goldston, (0,a,0,-b,0,0) = φ in dieser Notation. Die Botschaft zum Mitnehmen ist, dass es die Variation der linearen Kombinationen im Vakuum ist, die analysiert werden muss, und nicht direkt die zugehörige vev-Erfassungskombination.