Wird die Gruppentheorie überhaupt beim Studium der Supersymmetrie verwendet?

Wenn man in der Physik die Symmetrien einer Theorie beschreibt, hat man es im Allgemeinen automatisch mit Gruppentheorie zu tun, und Supersymmetrie ist kein Ausnahmefall.

Das No-Go-Theorem von Coleman-Mandula besagt im Wesentlichen, dass jede QFT (unter bestimmten Annahmen) nur Symmetrien realisieren kann, die ein direktes Produkt der Poincaré-Gruppe und einer internen Gruppe sind. Supersymmetrie entsteht in diesem Zusammenhang natürlich durch die Betrachtung von Spinorgeneratoren. All dies ist in der Sprache der Gruppen- und Repräsentationstheorie abgefasst.

Für diejenigen, die eher mathematisch geneigt sind, kann man, wie in Supersymmetrie und Supergravitation erklärt, zur Supersymmetrie gelangen, indem man abgestufte Lie-Algebren betrachtet , und dies erstreckt sich darauf, wie der Superraum nach dem Studium abgestufter Vektorräume natürlich betrachtet wird .

Der Begriff eines Superfelds und eines Superraums stammt jedoch auch direkt aus der Gruppentheorie. Wenn wir uns die SUSY-Algebra als einen der Anti-Pendel-Parameter vorstellen, können wir ein Gruppenelement definieren,

$$G(x,\theta,\bar\theta) = \exp \left(-ix^mP_m + \theta Q + \bar\theta \bar Q\right)$$

und indem man die Gruppenmultiplikation als Bewegung im Parameterraum interpretiert, kann man Differentialoperatoren definieren$Q$Und$\bar Q$für Linksmultiplikation (sowie für Rechtsmultiplikation). Natürlich kommen wir zu der Frage: Worauf wirken diese Operatoren? Die Antwort sind Funktionen in diesem Parameterraum - Superfelder.

Auf die gleiche Weise können wir Lorentz-Skalare bauen, wir können Objekte bauen, die sich geeignet unter Supersymmetrie-Transformationen mit diesen Superfeldern (bestehend aus Komponentenfeldern) transformieren, wodurch wir Lagrange-Operatoren konstruieren können, aber die ganze Idee basiert zuerst auf der Gruppentheorie.