Etwa 2+1-dimensionale superkonforme Algebra

Ich hätte gerne Hilfe bei der Interpretation der Hauptgleichung der superkonformen Algebra (in$2+1$Abmessungen), wie in Gleichung 3.27 auf Seite 18 dieses Dokuments angegeben . Ich bin mit Supersymmetrie-Algebra vertraut, aber diese Notation erscheint mir immer noch sehr obskur.

• In der obigen Gleichung für eine feste$i$,$j$,$\alpha$,$\tilde{\beta}$die letzte Amtszeit,$-i\delta_{\alpha , \tilde{\beta}} I_{ij}$wird ein ... sein$\cal{N} \times \cal{N}$Matrix für$\cal{N}$erweiterte Supersymmetrie in$2+1$Maße. Ist diese Deutung richtig?

(..wo ich denke$I_{ij}$ist die Vektordarstellung von$so(\cal{N})$gegeben als,$(I_{ij})_{ab} = - i(\delta _{ia}\delta _{jb} - \delta _{ib} \delta _{ja})$..)

• Nun, wenn das obige so ist, dann gibt es eine implizite$\cal{N} \times \cal{N}$Identitätsmatrix multipliziert mit dem ersten Term,$i \frac{\delta_{ij}}{2} [(M'_ {\mu \nu}\Gamma_\mu \Gamma_\nu C)_{\alpha \tilde{\beta}} + 2D' \delta _ {\alpha \tilde{\beta}}]$?

Ich vermute also, dass die Gleichung als Gleichheit zwischen 2 zu lesen ist$\cal{N} \times \cal{N}$Matrizen. Rechts?

• Gibt es einen Tippfehler in dieser Gleichung, die der erste Term haben sollte?$(M'_ {\mu \nu}\Gamma^\mu \Gamma ^ \nu C)$anstelle aller Raum-Zeit-Indizes$\mu, \nu$sich niedergeschlagen fühlen?

• Ich vermute das in$M' _{\mu \nu}$die Indizes$\mu$Und$\nu$Bereich vorbei$0,1,2...,d-1$Für ein$d-$dimensionale Raumzeit (...hier$d=3$..) und für diesen Bereich kann man in der euklidischen QFT (wie hier der Fall) ersetzen$M'_{\mu \nu} = \frac {i}{4}[\Gamma _ \mu , \Gamma _ \nu]$. Ist das richtig?

• Man verwendet hier die Konvention, wo die Signatur ist$\eta_{\mu \nu} = diag(-1,1,1) = \eta ^{\mu \nu}$und die Gamma-Matrizen sind so, dass$\Gamma^0 = C = [[0,1],[-1,0]], \Gamma ^1 = [[0,1],[1,0]], \Gamma ^ 2 = [[1,0],[0,-1]]$und dann die Ladungskonjugationsmatrix$C$erfüllt$C^{-1} \Gamma ^\mu C = - \Gamma ^{\mu T}$Und$[\Gamma ^\mu , \Gamma ^\nu]_+ = 2 \eta ^\mu \eta ^\nu$

Dann$M^{\mu \nu}\Gamma _\mu \Gamma _ \nu = -3i [[1,0],[0,1]]$

Lassen Sie mich nun für einen speziellen Fall dieser Gleichung auf das Ende der Seite verweisen$8$und Seitenanfang$9$dieses Papiers .

• Was ist in der Physikliteratur die implizite Gleichung/Konvention, die die Darstellung von definiert?$SO(N)$mit höchsten Gewichten$(h_1, h_2, ... , h_{[\frac{N}{2}]})$?

Ich konnte nirgendwo eine Gleichung finden, die die definiert$h_i$S

• Wie funktioniert die Auswahl der Gewichte der$Q$Operator wie unten auf Seite 8 angegeben bestimmt die Werte von$i$Und$\alpha$das geht in die rechte Seite der in der ersten Hälfte beschriebenen Anti-Kommutations-Gleichung?

Und wie bestimmt man das gleiche für die$S$Operator, der wegen der Euklidisierung verwandt ist als ,$S^{'}_{i \alpha} = (Q^{'i \alpha})^\dagger$(...Ich schätze, dass das Erhöhen und Senken von Indizes hier keine Rolle spielt...)

• Angesichts der Auswahl, die unten auf Seite 8 in der obigen Arbeit angegeben ist, und der SQ-Hermitizitätsbeziehung und der Antikommutierungsbeziehung in der ersten Hälfte dieser Frage, wie beweist man die oben auf Seite 9 behauptete Beziehung, die effektiv ist? ,$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$

Ich schätze$\epsilon_0$ist die Gebühr unter der$D'$der ersten Hälfte für einen Bediener definiert$A$(sagen) als$[D',A] = -\epsilon _0 A$obwohl ich die genaue Definition von nicht sehen kann$h_i$s und$j$in Bezug auf die RHS der QS-Antikommutierungsbeziehung, wie in der ersten Hälfte der Frage beschrieben.

• Tut irgendetwas über das oben genannte$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$davon abhängen, was der Wert ist$\cal{N}$? Ich denke, es könnte sein$2$wie in diesem Papier oder$3$und es wäre immer noch derselbe Ausdruck.

Es wäre toll, wenn jemand dabei helfen kann.