Warum transformiert sich ein Lorentz-Skalarfeld als U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Question

Warum transformiert sich ein Lorentz-Skalarfeld als U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Physik_Mathematik

Dieses Problem stammt von Srednicki Seite 19. Warum $U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?

Kann das jemand herleiten?

$\phi$ ist ein Skalar und $\Lambda$ Lorentz-Transformation.

JoshPhysik

Titeländerungsvorschlag für zukünftige Durchsuchbarkeit: „Why does a Lorentz skalar field transform as

U (Λ)^{- 1} ϕ (x) U (Λ) = ϕ (Λ^{- 1} x)

$U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?"

Physik_Mathematik

Ja, dieser Beitrag war überstürzt, aber die Schuld liegt beim Rauch. Vielen Dank für Ihre Antworten, ich werde sie sorgfältig durchgehen, wenn das Fieber sinkt. Beifall

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Warum transformiert sich ein Lorentz-Skalarfeld als U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Titeländerungsvorschlag für zukünftige Durchsuchbarkeit: „Why does a Lorentz skalar field transform as $U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?"
Ja, dieser Beitrag war überstürzt, aber die Schuld liegt beim Rauch. Vielen Dank für Ihre Antworten, ich werde sie sorgfältig durchgehen, wenn das Fieber sinkt. Beifall

JoshPhysik · Answer 1

Diese Gleichung ist tatsächlich die Definition eines Lorentz-Skalars, aber vielleicht werden Sie ein paar Worte davon überzeugen, dass es sich um eine gut begründete Definition handelt.

Eine hilfreiche Ausgangsanalogie.

Vergessen Sie für einen Moment die relativistische Feldtheorie. Stellen wir uns stattdessen jemanden vor, der überall in einem Raum die Temperatur messen möchte. Die Temperatur kann durch ein Skalarfeld, nämlich eine Funktion, dargestellt werden $T:\mathrm{room}\to \mathbb R$ Wo $\mathrm{room}$ ist eine Teilmenge des dreidimensionalen euklidischen Raums $\mathbb R^3$ . Nehmen wir nun an, jemand nimmt die Temperaturverteilung und dreht sie um eine Drehung $R\in\mathrm{SO}(3)$ , indem Sie ein Bild zeichnen, sollten Sie sich von der neuen Temperaturverteilung überzeugen können $T_R$ die er messen würde, würde wie folgt mit der alten Temperaturverteilung in Beziehung stehen:

\begin{aligned} T_{R} (R X) = T (X), \end{aligned}

$\begin{align} T_R(R\mathbf x) = T(\mathbf x), \end{align}$ Mit anderen Worten, der Wert der transformierten (gedrehten) Temperaturverteilung am transformierten Punkt ist derselbe wie der Wert der nicht transformierten Temperaturverteilung am nicht transformierten Punkt.

Klassische Feldtheorie.

Kommen wir nun zur klassischen relativistischen Feldtheorie. Betrachten Sie ein Skalarfeld im vierdimensionalen Minkowski-Raum $\phi:\mathbb R^{1,3}\to \mathbb R$ . In Analogie zur Temperaturverteilung definieren wir ein Lorentz-transformiertes Feld $\phi_\Lambda$ (bezeichnen oft $\phi'$ in Physik) von

\begin{aligned} ϕ_{Λ} (Λ X) = ϕ (X) . \end{aligned}

$\begin{align} \phi_\Lambda(\Lambda x) = \phi(x). \end{align}$ für alle

x \in R^{3, 1}

$x\in \mathbb R^{3,1}$ und für alle

Λ \in S O (1, 3)^{+}

$\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)^+$ . Beachten Sie, dass dies wie folgt umgeschrieben werden kann:

\begin{aligned} (⋆) & ϕ_{Λ} (X) = ϕ (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} \phi_\Lambda(x) = \phi(\Lambda^{-1} x). \tag{$\star$} \end{align}$ Das an einem Raumzeitpunkt ausgewertete transformierte Feld

x

$x$ stimmt mit dem nicht transformierten Feld am Raumzeitpunkt überein

Λ^{- 1} x

$\Lambda^{-1} x$ .

QFT.

Aber jetzt betrachten wir QFT. In diesem Fall, $\phi$ Weisen Sie jedem Raumzeitpunkt einen Operator (eigentlich eine Operatorverteilung) zu. Nun gibt es in der relativistischen QFT eine einheitliche Darstellung $U:\mathrm{SO}(3,1)^+\to U(\mathcal H)$ der Lorentz-Gruppe, die auf den Hilbert-Raum einwirkt $\mathcal H$ der Theorie, die Zustände transformiert $|\psi\rangle\in \mathcal H$ folgendermaßen:

\begin{aligned} | ψ ⟩ \to U (Λ) | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle \to U(\Lambda)|\psi\rangle \end{align}$ Nun nehme das an

A : H \to H

$A:\mathcal H\to\mathcal H$ ein linearer Operator ist, gibt es eine natürliche Art und Weise, wie sich ein solcher Operator nach unten transformiert

U (H)

$U(\mathcal H)$ ? Ja, das gibt es, erinnern Sie sich daran, dass eine Änderung der Basis in einem Vektorraum eine Änderung der Matrixdarstellungen von Operatoren durch Ähnlichkeitstransformation induziert. Wenn wir uns die Lorentz-Transformation als Basiswechsel vorstellen, dann ist es naheliegend, einen transformierten Operator durch zu definieren

\begin{aligned} A_{Λ} = U (Λ)^{- 1} A U (Λ) . \end{aligned}

$\begin{align} A_\Lambda = U(\Lambda)^{-1} A U(\Lambda). \end{align}$ Wenn wir dies auf den Betreiber anwenden

ϕ (x)

$\phi(x)$ an einem gegebenen Raumzeitpunkt

x

$x$ , dann haben wir

\begin{aligned} (⋆ ⋆) & ϕ (X)_{Λ} = U (Λ)^{- 1} ϕ (X) U (Λ) \end{aligned}

$\begin{align} \phi(x)_\Lambda = U(\Lambda)^{-1} \phi(x) U(\Lambda) \tag{$\star\star$} \end{align}$ Das in der QFT verwendete Transformationsgesetz folgt dann, indem es dies fordert

(⋆ ⋆)

$(\star\star)$ was sich aus dem Begriff der Transformation eines linearen Operators herleitet

H

$\mathcal H$ stimmt der Vorstellung zu

(⋆)

$(\star)$ der Transformation eines Feldes in der klassischen Feldtheorie. Ausdrücklich in dieser Schreibweise, wenn wir das verlangen

\begin{aligned} ϕ (X)_{Λ} = ϕ_{Λ} (X), \end{aligned}

$\begin{align} \phi(x)_\Lambda = \phi_\Lambda(x), \end{align}$ dann erhalten wir die gewünschte Definition eines Lorentz-Skalarfeldes;

\begin{aligned} U (Λ)^{- 1} ϕ (X) U (Λ) = ϕ (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} U(\Lambda)^{-1} \phi(x) U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x). \end{align}$

Notiz.

Der Begriff der Skalar-, Vektor- und Tensorfelder, der in der QFT verwendet wird, erinnert Sie vielleicht an den Begriff der Skalar-, Vektor- und Tensoroperatoren, die in der nichtrelativistischen Quantenmechanik von beispielsweise Teilchen mit Drehimpuls verwendet werden. Dies ist kein Unfall; sie sind eng verwandte Konzepte.

Die zusätzliche Komplikation, die wir in QFT bekommen, ist, dass Felder operatorwertige Funktionen der Raumzeit sind, nicht nur Operatoren, also müssen wir entscheiden, was wir mit dem Raumzeit-Argument des Felds tun, wenn wir transformieren. Wir haben uns oben mit dieser Komplikation befasst, indem wir im Wesentlichen den Begriff des Tensoroperators in der Quantenmechanik mit dem Begriff der Feldtransformation in der klassischen Feldtheorie kombiniert haben.

Weitere mathematische Bemerkungen zu Tensoroperatoren auf Hilbert-Räumen finden Sie unter

Tensoroperatoren

Ich mag deine pädagogischen Fähigkeiten. Eindrucksvoll! (Ich kann mein Englisch im Moment nicht verstehen)
@LoveLearning Danke, sehr geschätzt! Schön, dass es geholfen hat.
Liebe deine Antwort! Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es für etwas so Einfaches wie die Temperatur (na ja, es ist nicht so einfach, wenn man sich damit beschäftigt) keinen Konsens darüber gibt, wie es sich tatsächlich umwandelt!: Beispiel: physical.stackexchange.com/questions/83488/…
@R.Rankin Danke, und das ist interessant. Es scheint mir jedoch, dass sich der fehlende Konsens in dem von Ihnen verlinkten Beitrag auf Lorentz-Boosts bezieht. Ich wäre überrascht, wenn es keinen Konsens für räumliche Rotationen gibt, auf die ich mich in der Analogie bezogen habe.
gibt es natürlich nicht (: Ich habe versucht, mir Boosts nur als eine Raum-Zeit-Rotation vorzustellen (wenn auch eine hyperbolische). Nochmals vielen Dank für die großartige Antwort, die mir Spaß gemacht hat.
@joshphysics im QFT-Teil: Sollten die Einheitsoperatoren der Zustände oder die Operatoren nicht in ihre Umkehrung geändert werden?

Wladimir Kalitwjanski · Answer 2

Es ist eine Definition eines Skalarfeldes. Sie betrachten dasselbe Feld von einem anderen Referenzrahmen aus und sehen es nur mit einem "verschobenen" Argument. Zum Beweis erweitern Sie es formal in Potenzen von $x$ , Ich schätze.

Ich stimme zu, dass es sich um eine Definition handelt, warum also gleichzeitig behaupten, dass sie bewiesen werden kann? Es ist eine gut motivierte Definition, aber Motivation und Beweis sind unterschiedlich.
So motiviert PS es ... aber warum motivieren, wenn es abgeleitet werden kann? Kann es abgeleitet werden? Srednicki definiert es nicht, er sagt, wir sollten damit rechnen...
Man kann sagen, dass es in einem Skalarfeld nichts zu transformieren gibt als das Argument. Der Beweis zeigt, dass es wie erwartet transformiert wird, nicht anders.

Warum transformiert sich ein Lorentz-Skalarfeld als U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

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