Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe

Question

Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe

Physik
Spinoren
Feldtheorie
Gruppentheorie
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

Nabla

Im Zusammenhang mit der klassischen Feldtheorie wissen wir, dass irreduzible Darstellungen durch die Werte der beiden Casimir-Operatoren der Poincaré-Gruppe gekennzeichnet sind: Wir können massive Felder haben $P^2=m^2>0$ mit einem gewissen Spin $s$ , $W^2=m^2s(s+1)$ , oder masselose Felder $P^2=m^2=0$ mit einer gewissen Helizität $h$ , $W^\mu=h P^\mu$ .

Jetzt möchte ich alle Irreps der Lorentz-Gruppe (Poincaré-Darstellungen werden von diesen induziert) für verschiedene Werte von erhalten $m$ Und $s,h$ als projektive Darstellungen, das heißt unter Verwendung der Darstellung der Spingruppe, die sich überdeckt $SO(1,3)$ . Nach einigen Schritten (siehe this ) verstehen wir, dass wir nach komplexen Darstellungen von suchen $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ (das ist ein Tensorprodukt von zwei Kopien derselben Darstellung und sie wirken auf Bispinor, einen Spinor und einen Antispinor), um irreduzible Einheitsdarstellungen der Lorentz-Gruppe für verschiedene Arten von Feldern (unterschiedliche Werte von Masse und Spin) zu erhalten /Helizität).

Wie machen wir das?

Zum Beispiel:

Ich möchte eine Spin-0-Darstellung ( $m>0$ Und $s=0$ ), also erwarte ich, dass die Spindarstellung trivial ist, da es keinen Spin gibt $R_0(I_{\mu\nu})=0$ ( $I_{\mu\nu}$ sind die 6 Generatoren der Lorentz-Gruppe), die auf einen "trivialen Bispinor" einwirken, der nur ein 1-Komponenten-Realfeld (ein Skalarfeld) ist. Das ist einfach
Ich will einen Spin- $1\over 2$ Vertretung ( $m>0$ Und $s={1\over 2}$ ), also erwarte ich das, da a $1\over 2$ -spinor hat 2 Komponenten, die Spindarstellung ist a $4\times 4$ komplexe Matrix $R_{1\over 2}(I_{\mu\nu})=\sigma_{\mu\nu}$ die auf einen Bispinor mit 4 komplexen Werten wirken (ein Spinorfeld). Das ist auch einfach, da wir wissen, dass die (Weyl)-Darstellung von $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ in diesem Fall ist nur die definierende Darstellung von $SL(2,\mathbb{C})$ $\times$ das komplexe Konjugat der definierenden Darstellung von $SL(2,\mathbb{C})$ .
Ich möchte eine Spin-1-Darstellung ( $m>0$ Und $s=1$ ), also erwarte ich mit den gleichen Argumenten einen Bispinor mit 6 Komponenten. Ist das richtig? Wie kann ich sagen, dass dies ein komplexes Feld mit vier Vektoren ist? Handelt es sich um zwei unterschiedliche Darstellungen desselben Feldes (wie die Weyl- und Dirac-Darstellung z $1\over 2$ -Spinfelder)?

Natürlich weiß ich, dass es sich um ein Feld mit vier Vektoren handelt, aber ich habe mich gefragt, ob es einen "einfachen Weg" gibt, dies mit einer Art heuristischem Argument wie dem in den vorherigen Beispielen zu sagen.

Antworten (1)

Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe

Ivan Burbano · Answer 1

Ich würde vorschlagen, sich das erste Kapitel von Streater, RF, & Wightman, AS (1989) anzusehen. PCT, Spin und Statistiken und all das. Princeton University Press. Darin wird kommentiert, dass alle irreduziblen endlichdimensionalen komplexen Darstellungen von $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ sind von der Form $D^{(j/2,k/2)}$

ξ_{a_{1} \dots a_{J} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{k}} \mapsto A_{a_{1}}^{ρ_{1}} \dots A_{a_{J}}^{ρ_{J}} {\bar{A}}_{{\dot{β}}_{1}}^{{\dot{σ}}_{1}} \dots {\bar{A}}_{{\dot{β}}_{k}}^{{\dot{σ}}_{k}} ξ_{ρ_{1} \dots ρ_{J} {\dot{σ}}_{1} \dots {\dot{σ}}_{k}},

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}\mapsto A_{\alpha_1}{}^{\rho_1}\cdots A_{\alpha_j}{}^{\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1}{}^{\dot{\sigma}_1}\cdots\bar{A}_{\dot{\beta}_k}{}^{\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_1\cdots\rho_j\dot{\sigma}_1\cdots\dot{\sigma}_k},$ Wo

ξ_{α_{1} \dots α_{j} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{k}}

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}$ ist unter Permutationen der punktierten und nicht punktierten Indizes separat symmetrisch.

Nun zu deinen Beispielen:

Die Drehung $0$ Vertretung ist $D^{(0,0)}$ . Darin haben die Spinoren keine Indizes $\xi$ und sie verwandeln sich trivial unter $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ , so dass sie Skalare sind.
Wir haben zwei Spin-1/2-Darstellungen $D^{(1/2,0)}$ Und $D^{(0,1/2)}$ entsprechend den Weyl-Spinoren $\xi_\alpha$ und Anti-Weyl (?) Spinoren $\bar{\xi}_\dot{\alpha}$ . Das Dirac-Feld ist dann beispielsweise in $D^{(1/2,0)}\oplus D^{(0,1/2)}$ mit Dirac-Spinoren $\psi_\mu=(\xi_\alpha,\bar{\xi}_\dot{\alpha})$ .
Spin 1 Darstellungen sind $D^{(1,0)}$ , $D^{(1/2,1/2)}$ , Und $D^{(0,1)}$ . Die mittlere ist die Standardvektordarstellung $D^{(1/2,1/2)}=D^{(1/2,0)}\otimes D^{(0,1/2)}$ bestehend aus Spinoren der Form $\xi_{\alpha\dot{\beta}}$ . Dass es sich um 4-Vektoren handelt, ist unter dem Standard-Isomorphismus ersichtlich $x_{\alpha\dot{\beta}}\mapsto x_\mu:=x_{\alpha\dot{\beta}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , Wo $\sigma_\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . Tatsächlich sieht man durch diesen Isomorphismus, dass vier Vektoren eine Darstellung von tragen $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ . Um dies zu sehen, stellen wir zunächst fest, dass die Umkehrung dieses Isomorphismus einfach ist $x_{\alpha\dot{\beta}}=x_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}}$ , Wo $\sigma^\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . Die Indizierung in diesen Sigma-Matrizen unterscheidet sich von der für die vorherigen, da angenommen wird, dass sie die inverse Matrix darstellen. Es ist einfach so, dass die Umkehrung einer Pauli-Matrix sie selbst ist. Dann ist die Darstellung auf 4-Vektoren $x_\mu\mapsto A_\alpha{}^{\rho}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}x_\nu\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , also der Vektor $x_\mu$ Änderungen über die Matrix $\Lambda_\mu{}^\nu=\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}A_\alpha{}^{\rho}\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}$ . Man kann zeigen, dass dies in der Zusammenhangskomponente der Identität bei den Lorentz-Transformationen liegt. Näheres hierzu findet sich in Haag, R. (1996). Lokale Quantenphysik (2. Aufl.). Springer Berlin-Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61458-3 . Es erscheinen jedoch auch die anderen Darstellungen von Spin 1. Zum Beispiel die Vertretung $D^{(1,0)}$ ist durch antisymmetrische selbstduale Tensoren gegeben $B_{\mu\nu}$ . Unter Verwendung der Tatsache, dass jeder 2-Tensor $F_{\mu\nu}$ in einen selbstdualen und einen anti-selbstdualen Teil zerlegt werden kann, sieht man, dass sich beispielsweise der Maxwell-Feldstärketensor einwandelt $D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}$ .

Eine weitere interessante Quelle hierfür ist Ramond, P. (1990). Feldtheorie: Eine moderne Grundierung (Zweite). Westview-Presse.

Ich habe immer noch Probleme mit der Spin-1-Darstellung. Du sagst, dass Spinors reinkommen $D^{(1/2,1/2)}$ sind isomorph zu 4-Vektoren, aber für eine Darstellung der Lorentz-Gruppe benötigen Sie nicht das Tensorprodukt zweier Darstellungen? Zum Beispiel in der Spin- $1/2$ Darstellung, bei der Sie die direkte Summe zweier Darstellungen verwenden, um die nicht-irduzible Darstellung zu erhalten, die Sie benötigen, um eine Lorentz-Transformation auf einem Spin- $1/2$ Feld. Ich verstehe nicht, wie Sie das in Spin-1 machen.
$D^{(1/2,1/2)}$ ist in der Tat ein Tensorprodukt der Darstellungen $D^{(1/2,0}$ Und $D^{(0,1/2)}$ . Ich werde weitere Details darüber hinzufügen, wie dies zur Vektordarstellung der Lorentz-Gruppe führt. Es gibt keinen Zusammenhang (zumindest soweit ich weiß) mit dem Verfahren zur Konstruktion der Dirac-Darstellung. Die Vertretungen $D^{(1/2,0)}$ Und $D^{(0,1/2)}$ ergeben für sich genommen vollkommen gute Spin 1/2 Felder. Sie werden normalerweise in einem Dirac-Feld gebündelt, weil Massenbegriffe sie normalerweise verwechseln.
Es ist jedoch vollkommen in Ordnung, sich jede Theorie mit Dirac-Fermionen als Weyl-Fermionen vorzustellen. Ich denke, das macht zum Beispiel das Standardmodell übersichtlicher. Die Felder in einer der Darstellungen interagieren durch die schwache Kraft, während die Felder in der anderen dies nicht tun. Vielleicht kannst du deine Frage etwas präzisieren, damit ich dir besser helfen kann.

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