Massive Spin-sss-Darstellungen der Poincare-Gruppe auf dem Raum von Spintensorfeldern

Kontext

Das Folgende ist aus dem Buch "Ideas and methods in supersymmetry and supergravity" von IL Buchbinder und SM Kuzenko, S. 56-60. Es geht darum, die irreduziblen massiven Darstellungen der Poincare-Gruppe als Spintensorfelder zu realisieren, die sich unter bestimmten Darstellungen der homogenen Lorentz-Gruppe transformieren und einigen Nebenbedingungen unterliegen.

Betrachten Sie den linearen Raum$\mathcal{H}_{(A,B)}$von$(A/2,B/2)$Geben Sie Spintensorfelder ein$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$völlig symmetrisch in ihren A undpunktierten Indizes und unabhängig in ihren B punktierten Indizes, mit$A+B=2s$und die folgenden Nebenbedingungen erfüllen:

$$\begin{cases}\partial^{\dot{\alpha}\alpha}\Phi_{\alpha\alpha_1\cdots\alpha_{A-1}\dot{\alpha}\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_{B-1}}(x)=0 && (1)\\ (\partial^a\partial_a-m^2)\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)=0&&(2)\end{cases}$$ Hier $\partial_{\alpha\dot{\alpha}}=(\sigma^a)_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_a$Und $\partial^{\dot{\alpha}\alpha}=(\tilde{\sigma}^a)^{\dot{\alpha}\alpha}\partial_a=\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\varepsilon^{\alpha\beta}(\sigma^a)_{\beta\dot{\beta}}\partial_a$, $\sigma^a=(\text{Id},\vec{\sigma})$Und $\tilde{\sigma}^a=(\text{Id},-\vec{\sigma}).$Meine metrische Konvention ist $\eta_{ab}=\text{Diag}(-1,1,1,1)$, Spinor-Indizes sind griechische Buchstaben, während Lorentz-Indizes lateinisch sind.

Betrachten Sie die folgende Eins-zu-Eins-Karte:

$$\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~~\dot{\alpha}_B}: \mathcal{H}_{(A,B)}\rightarrow \mathcal{H}_{(A+1,B-1)}$$ $$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\alpha_{A+1}\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_{B-1}}(x):=\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x) ~~\text{ where }~~ \Delta_{\alpha_{A+1}}^{~~\dot{\alpha_B}}=\frac{1}{m}\partial_{\alpha_{A+1}}^{~~\dot{\alpha_B}}$$ Die Abbildung ist eins-zu-eins, da unter Verwendung der Massenschalenbedingung (1) gezeigt werden kann, dass sie eine Inverse hat, die durch definiert ist $\Delta_{\alpha}^{~~\dot{\alpha}}\Delta^{\beta}_{~~\dot{\alpha}}=\delta_{\alpha}^{\beta}$. Obwohl es für die Zwecke dieses Threads nicht notwendig ist, sich die inverse Karte anzusehen.

Frage

Für mich ist es nicht offensichtlich, dass, nachdem wir auf ein Element von eingewirkt haben$\mathcal{H}_{(A,B)}$mit$\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~~\dot{\alpha}_B}$, ist das Ergebnis völlig symmetrisch in seinen undotierten Indizes, einschließlich des zusätzlichen, der durch die Karte erzeugt wird. Dies ist jedoch eine Behauptung des Autors. Also ich möchte folgendes beweisen:

$$\Delta_{({\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A)\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)=\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$$

Versuchen

Ich bin mir fast sicher, dass das Ergebnis aus der zusätzlichen Bedingung (2) (die manchmal als Bedingung für die "Spin-Auswahl" bezeichnet wird) zusammen mit der Tatsache folgen sollte, dass$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$ist völlig symmetrisch in seinen undotierten Indizes. Aber auch hier ist es überhaupt nicht offensichtlich, warum.

Um etwas Intuition für das Problem zu bekommen, habe ich einen einfachen Fall ausprobiert:

$$\Delta_{\gamma}^{~~\dot{\beta}}:\mathcal{H}_{(2,2)}\rightarrow \mathcal{H}_{(3,1)}$$ $$X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}}\rightarrow X_{\alpha\beta\gamma\dot{\alpha}}:=\Delta_{\gamma}^{~~\dot{\beta}}X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} ~~\text{ where } X_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}=X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}}$$

Das Ziel dieser intuitiven Übung wäre es dann, dies zu zeigen$X_{\alpha\beta\gamma\dot{\alpha}}=X_{\gamma\beta\alpha\dot{\alpha}}$, Zum Beispiel.

Wenn ich explizit einige Zahlen für die Indizes einsetze, kann ich sehen, dass das zB der Fall ist$(\alpha=1,\gamma=2)$ist der Fall gleich$(\alpha=2,\gamma=1)$aufgrund der Nebenbedingung (2). Ich tue mich jedoch schwer, dies zu verallgemeinern, und begnüge mich sicherlich nicht damit, das Argument hier zu belassen. Hat jemand einen Vorschlag oder Hinweis für mich? Danke schön.