Paritätstransformationen und Dirac Spinor

Ich lese "No-Nonsense-Quantenfeldtheorie" und habe einige Zweifel am Transformationsgesetz für Dirac Spinors, wie vom Autor erklärt. Im Buch die linken chiralen Spinoren$\chi$und rechte chirale Spinoren$\xi$werden als Objekte eingeführt, die zwei Komponenten haben und sich unter Drehungen verhalten$R$um$x$-Achse und kurbelt entlang$z$-Achse$B$folgendermaßen:

$$\chi_a \rightarrow R_{ab}^{(\chi x)} \chi_b \\ \chi_a \rightarrow B_{ab}^{(\chi z)} \chi_b$$

Wo

$$R_{ab}^{\chi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\chi z)} = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{-\phi/2}\end{pmatrix}$$

Und

$$\xi_a \rightarrow R_{ab}^{(\xi x)} \xi_b \\ \xi_a \rightarrow B_{ab}^{(\xi z)} \xi_b$$

Wo

$$R_{ab}^{\xi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\xi z)} = \begin{pmatrix} e^{-\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{\phi/2}\end{pmatrix}$$

Dann stellt der Autor den Dirac-Spinor vor:

$$\Psi = (\chi, \xi)^T$$ das wandelt sich unter boosts wie

$$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\chi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\xi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\chi, \xi)^T$$ . Bisher folge ich dem Argument, aber dann behauptet der Autor, dass die obige Gleichung zu:

$$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\xi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\chi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\xi, \chi)^T$$ denn unter Paritätstransformation haben wir$B^{(\xi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\xi z)} (-\phi) = B^{(\chi z)} (\phi)$Und$B^{(\chi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\chi z)} (-\phi) = B^{(\xi z)} (\phi)$. Und behauptet dann, dass dies impliziert, dass der Dirac Spinor$\Psi$transformiert unter Paritätstransformationen als $$\Psi = (\chi, \xi)^T \rightarrow (\xi, \chi)^T$$ Ich bin verwirrt darüber, warum die letzte Aussage aus der obigen Diskussion folgt. Ich habe auch ein Bild von dem Abschnitt des Buches angehängt, aus dem ich das habe: