Wie unterscheidet man einen Spinor von einem 4-Vektor?

Question

Wie unterscheidet man einen Spinor von einem 4-Vektor?

Physik
Spinoren
Vektoren
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

Benutzer171780

Nehmen wir an, wir erhalten ein Objekt mit vier Komponenten. Um explizit zu sein, nehmen wir an, dass diese Komponenten sind $x^\mu = \mu$ mit $\mu\in{0,1,2,3}$ , dh

X^{μ} \sim [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] .

$x^\mu \sim \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right] .$ Woher wissen wir, ob diese Komponenten einen 4-Vektor oder einen Spinor darstellen? (Vergessen Sie die typische 4-Vektor-Notation, die ich verwende. Es ist nur die Notation, die ich wähle.) Ich lese immer in Büchern, dass 4-Vektoren (oder Tensoren im Allgemeinen) daran erkannt werden, wie sich ihre Komponenten transformieren. Gilt das auch für Spinoren?

Lassen Sie mich meine Frage mit einem "Beispiel" erweitern. Betrachten wir auch eine durch parametrisierte Lorentz-Transformation $\xi_i$ für den "Winkel" von Boosts und $\theta_i$ für die Drehwinkel. Angenommen, wir erhalten die Komponenten dieses Objekts nach der Transformation und dass es sich um ein Array von Zahlen handelt $y^\mu$ . Aber uns wird nicht gesagt, wie sie berechnet wurden, oder, noch interessanter, beides $x^\mu$ Und $y^\mu$ Mai gemessen wurden. Damit wollen wir in Beziehung treten $x^\mu$ Und $y^\mu$ .

Nehmen wir an, dass wir nach einigem „Versuch und Irrtum“ feststellen, dass sie durch die lineare Transformation in Beziehung stehen

j^{μ} = {(\exp (\frac{ich}{2} ω_{ρ σ} Σ^{ρ σ}))}_{v}^{μ} X^{v}

$y^\mu = \left( \exp\left(\frac{i}{2} \omega_{\rho\sigma} \Sigma^{\rho\sigma}\right) \right)^\mu_{\ \ \ \nu} x^\nu$ (was nichts anderes ist als

y^{μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν}

$y^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu} x^\nu$ ) Wo

ω_{ρ σ} = [\begin{matrix} 0 & ξ_{1} & ξ_{2} & ξ_{3} \\ - ξ_{1} & 0 & θ_{3} & θ_{2} \\ - ξ_{2} & - θ_{3} & 0 & θ_{1} \\ - ξ_{3} & - θ_{2} & - θ_{1} & 0 \end{matrix}]

$\omega_{\rho\sigma} = \left[ \begin{matrix}0 & \xi_{1} & \xi_{2} & \xi_{3}\\ -\xi_{1} & 0 & \theta_{3} & \theta_{2}\\ -\xi_{2} & -\theta_{3} & 0 & \theta_{1}\\ -\xi_{3} & -\theta_{2} & -\theta_{1} & 0 \end{matrix} \right]$

Ist es richtig, das Folgende zu schließen?

Wenn $\Sigma^{\rho\sigma}$ gegeben sind, schließen wir daraus, dass die Komponenten einen 4-Vektor darstellen.
Wenn $\Sigma^{\rho\sigma} = \frac{i}{4} [\gamma^\rho,\gamma^\sigma]$ mit $\gamma^\mu$ die Dirac-Matrizen, oder genauer gesagt, wir schließen daraus, dass die Komponenten einen Spinor darstellen.
Wenn die $\Sigma$ 's sind anders als diese, aber die Lorentz-Algebra erfüllt dann die Komponenten $x^\mu$ einen anderen Objekttyp darstellen, der sich von einem 4-Vektor oder einem Spinor unterscheidet.

Ist das richtig? Wenn ja, kann dies als Definition eines Spinors angesehen werden (wie dies bei 4-Vektoren der Fall ist), unabhängig davon, ob sie die Dirac-Gleichung erfüllen oder nicht?

Alexander

Sie erkennen am Kontext (evtl. sogar an der Dimensionsanalyse ). Dirac-Spinor- Komponenten sind "interne Zustände" und haben andere Eigenschaften (Constraints) als "nur" 4-Vektoren.

Oktonion

Hier ist eine einfache Erklärung auf Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation

Charlie

Eine Möglichkeit, sie zu erkennen, ist die Art und Weise, wie sie sich verwandeln. Im Allgemeinen transformieren sich 4-Vektoren durch Lorentz wie

Ψ^{'} = M (Λ) Ψ

$\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , Wo

M (Λ)

$M(\Lambda)$ ist die Transformationsmatrix für die Lorentz-Transformation

Λ

$\Lambda$ . Eine Möglichkeit, diese Matrix darzustellen, sind Rotationsgeneratoren

M (Λ) = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} J_{μ ν})

$M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . Andererseits ist Spinor ein Objekt, das sich wie transformiert

Ψ^{'} = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} S_{μ ν}) Ψ

$\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , wobei die Generatoren durch gegeben sind

S_{μ ν} = \frac{i}{4} [γ_{μ}, γ_{ν}]

$S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , Wo

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ sind die Dirac-Gammamatrizen.

Papa Kropotkin

Nur als Spaltenvektor dargestellt, kann man sie nicht unterscheiden - das ist der Sinn der einfachen Darstellung! Wie andere oben gesagt haben, sollte der Kontext Sie über die Natur des Tieres informieren.

Kosmas Zachos

Die Casimirs Ihrer 1 und 2 Wiederholungen haben sehr unterschiedliche Eigenwerte ... welche?

Kosmas Zachos

Ihre Wiederholung 2 ist bereits reduziert (sehen Sie sich ihre Blöcke an). Nun repräsentieren jeweils die unteren drei Generatoren die Rotationsuntergruppe. Können Sie den Vektor, Drehung 1, Darstellung in 1 und die zwei disjunkten Dubletten, Drehung 1/2, Wiederholungen in 2 sehen?

Antworten (1)

Wie unterscheidet man einen Spinor von einem 4-Vektor?

Sie erkennen am Kontext (evtl. sogar an der Dimensionsanalyse ). Dirac-Spinor- Komponenten sind "interne Zustände" und haben andere Eigenschaften (Constraints) als "nur" 4-Vektoren.
Hier ist eine einfache Erklärung auf Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation
Eine Möglichkeit, sie zu erkennen, ist die Art und Weise, wie sie sich verwandeln. Im Allgemeinen transformieren sich 4-Vektoren durch Lorentz wie $\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , Wo $M(\Lambda)$ ist die Transformationsmatrix für die Lorentz-Transformation $\Lambda$ . Eine Möglichkeit, diese Matrix darzustellen, sind Rotationsgeneratoren $M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . Andererseits ist Spinor ein Objekt, das sich wie transformiert $\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , wobei die Generatoren durch gegeben sind $S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , Wo $\gamma_\mu$ sind die Dirac-Gammamatrizen.
Nur als Spaltenvektor dargestellt, kann man sie nicht unterscheiden - das ist der Sinn der einfachen Darstellung! Wie andere oben gesagt haben, sollte der Kontext Sie über die Natur des Tieres informieren.
Die Casimirs Ihrer 1 und 2 Wiederholungen haben sehr unterschiedliche Eigenwerte ... welche?
Ihre Wiederholung 2 ist bereits reduziert (sehen Sie sich ihre Blöcke an). Nun repräsentieren jeweils die unteren drei Generatoren die Rotationsuntergruppe. Können Sie den Vektor, Drehung 1, Darstellung in 1 und die zwei disjunkten Dubletten, Drehung 1/2, Wiederholungen in 2 sehen?

Stijn B. · Answer 1

Man könnte sagen, dass man Vektoren und Spinoren an ihrer Transformation unterscheiden kann. Vektoren und Spinoren gehören zu unterschiedlichen Darstellungen der Lorentzgruppe und haben daher unterschiedliche Transformationsregeln. Dein Beispiel ist in der Tat richtig. Wenn Sie also aus dem Kontext wissen, wie sich ein Objekt verändert, können Sie erraten, was es ist.

Normalerweise werden Mathematiker ziemlich wütend, wenn sie davon hören, "das Objekt X durch die Art und Weise zu definieren, wie es sich transformiert". Wie können Sie etwas transformieren, das Sie noch nicht definiert haben? Dennoch führen viele GR-Lehrbücher auf diese Weise Tensoren ein, und aus physikalischer Sicht ist dies in Ordnung. Mathematiker würden einen Bottom-up-Ansatz bevorzugen, bei dem man mit einer Gruppe (wie der Lorentz-Gruppe oder der Rotationsgruppe) beginnt, ihre Darstellungen klassifiziert und ihnen erst dann dumme Namen wie „Spinor“ und „Tensor“ gibt.

Übrigens (eher irrelevant) gibt es meiner Meinung nach einige Minuszeichen in Ihren Lorentz-Generatoren für den 4-Vektor: Die Boost-Generatoren sollten zwei Nicht-Null-Elemente mit demselben Vorzeichen haben.

Wenn ich also etwas messe, dann drehe ich das Experiment und führe die gleiche Messung durch, indem ich die Art und Weise analysiere, wie die Messungen zusammenhängen, kann ich erraten, was die Natur dieses Etwas ist, richtig? Bei Skalaren liefert die Messung das gleiche Ergebnis, und bei Vektoren oder Spinoren (oder anderen Objekten) sagen mir die Beziehungen zwischen den Komponenten, was es ist.

Wie unterscheidet man einen Spinor von einem 4-Vektor?

Benutzer171780

Alexander

Oktonion

Charlie

Papa Kropotkin

Kosmas Zachos

Kosmas Zachos

Antworten (1)

Stijn B.

Benutzer171780

Stijn B.

Allgemeine Definition von Vektor, Spinor und Spin

Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe

Dirac, Weyl und Majorana Spinors

Sind Spinoren Darstellungen der Lorentz-Gruppe oder der zugehörigen Algebra?

Wie ist die Beziehung zwischen SL(2,C)SL(2,C)SL(2,\mathbb{C}), SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\ mal SU(2) und SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)?

Spinoren und Spingruppe

Lorentzalgebra und ihre Generatoren

Interpretation von Rang-2-Spinoren

Paritätstransformationen und Dirac Spinor

Konzeptionelle Interpretation der links- und rechtshändigen Spinor-Darstellungen der Lorentz-Gruppe