Dirac, Weyl und Majorana Spinors

Erinnern Sie sich an einen Dirac-Spinor, der dem Dirac-Lagrangian gehorcht

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi.$$

Der Dirac-Spinor ist ein Vierkomponenten-Spinor, kann aber in ein Paar Zweikomponenten-Spinoren zerlegt werden, dh wir schlagen vor

$$\psi = \left( \begin{array}{c} u_+\\ u_-\end{array}\right),$$

und der Dirac Lagrangian wird,

$$\mathcal{L} = iu_{-}^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}u_{-} + iu_{+}^{\dagger}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+} -m(u^{\dagger}_{+}u_{-} + u_{-}^{\dagger}u_{+})$$

wo$\sigma^{\mu} = (\mathbb{1},\sigma^{i})$und$\bar{\sigma}^{\mu} = (\mathbb{1},-\sigma^{i})$wo$\sigma^{i}$sind die Pauli-Matrizen und$i=1,..,3.$Die Zweikomponenten-Spinoren$u_{+}$und$u_{-}$werden als Weyl- oder chirale Spinoren bezeichnet. An der Grenze$m\to 0$, kann ein Fermion durch einen einzelnen Weyl-Spinor beschrieben werden, der z. B. erfüllt

$$i\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+}=0.$$

Majorana-Fermionen ähneln Weyl-Fermionen; Sie haben auch zwei Komponenten. Aber sie müssen eine Realitätsbedingung erfüllen und unter Ladungskonjugation unveränderlich sein. Wenn Sie ein Majorana-Fermion erweitern, sind die Fourier-Koeffizienten (oder Operatoren bei der kanonischen Quantisierung) reell. Mit anderen Worten, ein Majorana-Fermion$\psi_{M}$kann in Bezug auf Weyl-Spinoren geschrieben werden als

$$\psi_M = \left( \begin{array}{c} u_+\\ -i \sigma^2u^\ast_+\end{array}\right).$$

Majorana-Spinoren werden häufig in supersymmetrischen Theorien verwendet. Im Wess-Zumino-Modell – dem einfachsten SUSY-Modell – wird ein Supermultiplet aus einem komplexen Skalar, einem pseudoskalaren Hilfsfeld und einem Majorana-Spinor konstruiert, gerade weil es im Gegensatz zu einem Dirac-Spinor zwei Freiheitsgrade hat. Die Wirkung der Theorie ist einfach,

$$S \sim - \int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi^{\ast}\partial_\mu \phi + i \psi^{\dagger}\bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi + |F|^2 \right)$$

wo$F$ist das Hilfsfeld, dessen Bewegungsgleichungen gesetzt sind$F=0$ist aber aufgrund der Freiheitsgrade off-shell und on-shell aus Konsistenzgründen notwendig.

Nachdem Sie mehr über Spinoren erfahren haben, werden Sie sehen, dass alle Spinoren zu gehören$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$Vertretung der$SL(2,C)$Gruppe, die das Doppelcover der Lorentz-Gruppe ist$SO(3,1)$. Die Idee ist, Darstellungen einer einfach zusammenhängenden Abdeckgruppe zu finden, was in diesem Fall der Fall ist$SL(2,C)$bleibt die durch die algebraische Vertauschungsrelation gegebene lokale Struktur gleich.

Spinorialgleichungen ermöglichen es, Lorentz-invariante Unterräume im Gesamtraum von zu extrahieren$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$Darstellung.

Sowohl Dirac- als auch Majorana-Spinoren gehören dazu$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$Repräsentation von$SL(2,C)$Gruppe, aber sie sind nur Unterräume davon. Zum Beispiel sind Majorana-Spinoren alle elektrisch neutral (dh bleiben unter Ladungskonjugation invariant). In ähnlicher Weise sind Dirac-Spinoren "magnetisch neutral".

Weil Spinoren zu beiden gehören$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$oder$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$Unterräume. Im Gegensatz zu Dirac- und Majorana-Spinoren können sie als 2-Komponenten-Spinoren betrachtet werden. Dies ist jedoch auch eine Einschränkung, da einige spezielle Lorentz-Transformationen nicht auf diese Spinoren angewendet werden können.