Ich habe einige Fragen zur Terminologie, die in QM & QFT verwendet wird, und zur (rein mathematischen) Darstellungstheorie, die das Konzept des "Spinors" behandelt.
Konzentrieren wir uns auf Dirac Spinor, wie in https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_spinor beschrieben :
Laut Artikel ist es ein komplexer Bispinor was eine Lösung der Dirac-Gleichung ist
mit Gammamatrizen u Weyl Spinoren aus Und Darstellungen der Gruppe (die Lorentz-Gruppe ohne Paritätstransformationen).
Aus Sicht der (rein mathematischen) Darstellungstheorie sind Spinoren Elemente der fundamentalen Darstellung der Clifford-Algebra .
Kurzer Rückblick auf die Darstellungstheorie: Betrachten Sie eine Algebra und man sucht einen Vektorraum sprich von Dimension und ein Gruppenhomomorphismus .
In dieser Sprache sind Spinoren Bilder unter der Karte für bestimmte Clifford-Algebra und sicher -dimensionaler Vektorraum . Mit anderen Worten, repräsentative Elemente in der Matrixalgebra der Elemente von .
Das Problem besteht darin, dass wir diese beiden Standpunkte vergleichen, wenn wir einen Punkt x fixieren was ist ( x ) ( x ) ausgewertet in x ? Ein Element des Bildes einer geeigneten Repräsentationskarte (dies würde mit der mathematischen Definition eines Spinors übereinstimmen) oder ein Element des Vektorraums auf dem die Bilder unter handeln über ? Aber dann anrufen ( x ) ein Spinor wäre irreführend .
Konzentrieren wir uns der Einfachheit halber auf den oberen Weyl-Spinor ( x ). Definitionsgemäß ist die Weyl-Spinor-Darstellung die kleinste (=fundamentalste) komplexe Darstellung von .
Wenn dies ein "Spinor" im üblichen Sinne wäre, gäbe es eine Repräsentationskarte mit bestimmtem Vektorraum Und ( x ) wäre im Bild enthalten.
Aber warum? ( x ) ist ein Element von so intuitiv ist es ein Element von aber Sache verstößt gegen die Nomenklatur.
Könnte mir jemand erklären was ich hier verwechsle. Vor allem, warum die Notation "Spinor" für ( x ) hier aus mathematischer Sicht sinnvoll?
Spinoren sind Vektoren im Darstellungsvektorraum, keine Matrizen im Bild der Darstellungskarte.
Ein Dirac-Spinor oder Bispinor transformiert sich in die (einzige) irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra . Diese Darstellung ist vierdimensional.
Ein Weyl-Spinor transformiert sich in eine irreduzible komplexe Darstellung der Lorentz-Algebra (und damit von ), von denen zwei mit bezeichnet sind Und , die "linkshändigen" und "rechtshändigen" Darstellungen. Diese Darstellungen sind zweidimensional.
ist als Lie-Algebra zur Subalgebra 2. Grades isomorph , also die Dirac-Darstellung - irreduzibel als Darstellung von - ist auch eine nicht unbedingt irreduzible Darstellung von .
In der Tat als Repräsentation von die Dirac-Darstellung ist reduzierbar und isomorph zu . Das meint der Physiker, wenn er schreibt .
Die oben gegebenen Antworten von KarlPeter sind FALSCH. Die Antwort von ACuriousMind ist richtig, aber für Physiker könnte es schwierig sein, sie zu verstehen. Spinoren der Darstellungstheorie sind keine Vektoren. Sie können a priori nicht summiert werden. Die Antworten von KarlPeter verwechseln diese rein mathematischen Spinoren und Entitäten, die in die Anwendung von Spinoren auf die Quantenmechanik eingreifen, wo Summen von Spinoren trotz der Darstellungstheorie eingeführt werden. Die Quantenmechanik behandelt daher Spinoren, als wären sie Vektoren, was sie nach der Darstellungstheorie nicht sind.
Weil die Menschen nicht wissen, dass die in der Quantenmechanik verwendeten Größen Summen sind, nennen sie sie auch Spinoren, aber sie sind nicht mehr dasselbe. Wir müssen also verstehen, warum wir trotz der Darstellungstheorie Spinoren in der Quantenmechanik summieren können. Die Antwort ist leider sehr lang.
Zum Verständnis mathematischer Spinoren können Sie konsultieren: https://hal.archives-ouvertes.fr/cea-01572342v1 , insbesondere Abschnitt 2 (man kann 2.6 und 2.8 überspringen). Das ergibt die mathematische Bedeutung von Spinoren.
Um zu verstehen, wie sie in der Dirac-Gleichung verwendet werden, sollten Sie als nächstes konsultieren: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03084916v2Ein Teil dieses Dokuments leitet die Dirac-Gleichung von Grund auf neu her. Es ermöglicht Ihnen, die Bedeutung der Dirac-Gleichung zu verstehen, während die traditionelle Behandlung Ihnen dieses Verständnis nicht bieten kann, weil Dirac seine Gleichung erraten hat. Sie werden dann sehen, dass der Bi-Spinor ein Superpositionszustand ist, dh die Summe zweier Spinoren der 4x4-Weyl-Darstellung, die eine Blockstruktur hat, die die zwei verschiedenen 2x2-Weyl-Darstellungen enthält. Summen von Spinoren sind in der Darstellungstheorie nicht definiert, weil Summen von Gruppenelementen a priori nicht definiert sind. Da die Quantenmechanik Summen von Spinoren verwendet, muss eine Bedeutung für solche Summen gefunden werden. Es stellt sich heraus, dass solche Summen Mengen von Gruppenelementen darstellen. Daher ist der Bi-Spinor kein reiner Spinor, sondern stellt eine Reihe von Spinoren dar, von denen die Hälfte linkshändig und die andere Hälfte rechtshändig ist. Diese Mengen beschreiben nun statistische Ensembles von Elektronen. Jedes Elektron hat seinen eigenen reinen Spinor. Ohne die Einführung solcher Mengen kann die Dirac-Gleichung nicht hergeleitet werden.
G. Smith