Masselose Grenze für das Dirac-Feld

Question

Masselose Grenze für das Dirac-Feld

Physik
Spinoren
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie
Repräsentationstheorie

LFH

Ich bin ein bisschen verwirrt darüber, wie ich die masselose Grenze des Dirac-Feldes nehmen soll:

\begin{aligned} ψ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{2}} \frac{1}{\sqrt{E_{P}}} \sum_{S} (A_{P}^{S} u^{S} (P) e^{- ich P X} + B_{P}^{S †} v^{S} (P) e^{ich P X}), \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^2}\frac{1}{\sqrt{E_p}}\sum_{s}\left(a_p^su^s(p)e^{-i p x}+b_p^{s\dagger}v^s(p)e^{ip x}\right)\,,\label{Dirac} \end{align}$

BEARBEITET: Was sind die richtigen $u^s(p)$ Und $v^s(p)$ wenn die Masse null ist? Für massive Teilchen geben Peskin & Schroeder den Ausdruck:

\begin{aligned} u^{S} (P) = (\begin{matrix} \sqrt{P \cdot σ} ξ^{S} \\ \sqrt{P \cdot \bar{σ}} ξ^{S} \end{matrix}), v^{S} (P) = (\begin{matrix} \sqrt{P \cdot σ} η^{S} \\ - \sqrt{P \cdot \bar{σ}} η^{S} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} u^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\xi^s\\ \sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\xi^s \end{array}\right)\,,\qquad v^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\eta^s\\ -\sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\eta^s \end{array}\right) \end{align}$ Wenn ich die masselose Grenze für nehme

u^{s} (p)

$u^s(p)$ mit

p

$p$ zeigt in die

z

$z$ -Richtung, finde ich

\begin{aligned} u^{1} (\vec{P}) = \sqrt{E} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), u^{2} (\vec{P}) = \sqrt{E} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), \end{aligned}

$\begin{align} u^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\0 \end{array}\right)\,,\quad u^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,, \end{align}$ wo ich verwendet habe

ξ^{1} = (1, 0)

$\xi^1=(1,0)$ Und

ξ^{1} = (0, 1)

$\xi^1=(0,1)$ . Wenn ich das gleiche für die mache

v

$v$ , Ich finde

\begin{aligned} v^{1} (\vec{P}) = \sqrt{E} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), v^{2} (\vec{P}) = \sqrt{E} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) . \end{aligned}

$\begin{align} v^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ -1\\0 \end{array}\right)\,,\quad v^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,. \end{align}$ Das bedeutet, dass wir keine haben

{\bar{u}}^{i} (p) v^{j} (p) = 0

$\overline{u}^i(p)v^j(p)=0$ . Ich dachte das für jeden festen Impuls

p

$p$ , die Spinorensätze

v^{i} (p)

$v^i(p)$ Und

u^{i} (p)

$u^i(p)$ Spanne mit

i = 1, 2

$i=1,2$ jeweils einen zweidimensionalen Raum aufspannen, nämlich

s p a n (v^{1} (p), v^{2} (p))

$\mathrm{span}(v^1(p),v^2(p))$ Und

s p a n (u^{1} (p), u^{2} (p))

$\mathrm{span}(u^1(p),u^2(p))$ die orthogonal zueinander stehen. Aus den obigen Grenzen sieht es jedoch so aus, als ob dies im masselosen Grenzfall (sehr großer Impuls) nicht mehr der Fall wäre. Habe ich die Grenzen falsch genommen oder einen entscheidenden Punkt übersehen?

Prahar

Ich stimme dafür, diese Frage als nicht zum Thema gehörend zu schließen, da sie unzureichende Forschung zeigt. Diese Themen werden in praktisch jedem QFT-Buch diskutiert, das Sie zur Hand nehmen (ich schlage Srednicki vor).

LFH

Vielleicht war meine Frage nicht sehr gut formuliert. Ich habe Peskin & Schroeder verwendet und die Diskussion über die masselose Grenze gefunden, wo sie erklären, dass die Spinoren degenerieren. Lassen Sie mich meine Frage etwas umformulieren. Es ist immer noch eine einfache Frage, aber nicht ganz trivial (zumindest nicht für mich im Moment).

Prahar

u

$u$ Und

v

$v$ niemals unter echte orthochrone Lorentz-Transformationen mischen, egal ob

p

$p$ masselos oder massiv.

LFH

Hallo Prahar, ich glaube, ich habe es nicht super gut erklärt. Offensichtlich für unterschiedliche Impulse

v

$v$ Und

u

$u$ mischen kann. Gegeben

u^{s} (p)

$u^s(p)$ Und

v^{r} (q)

$v^r(q)$ , kann es zu Überschneidungen zwischen ihnen kommen. Für den gleichen Moment

p

$p$ ,

u^{s} (p)

$u^s(p)$ Und

v^{r} (p)

$v^r(p)$ orthogonale Unterräume aufspannen. Allerdings habe ich die masselose Grenze irgendwie nicht richtig hinbekommen und es sieht so aus, als würden sich die Zwischenräume in der masselosen Grenze vermischen. Darauf zielte meine Frage hauptsächlich ab.

hallo

Beachten Sie, dass die "räumlichen Wellenfunktionen" entsprechen

u (p)

$u(\textbf{p})$ Und

v (p)

$v(\textbf{p})$ sind bzw

e^{i p \cdot r}

$e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ Und

e^{- i p \cdot r}

$e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Denn die "Ortswellenfunktionen" z

u (p)

$u(\textbf{p})$ Und

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ sind die gleichen, die entsprechenden spinor Teile, die sind

u (p)

$u(\textbf{p})$ Und

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ selbst, müssen orthogonal zueinander sein, was ja auch der Fall ist.

Antworten (1)

Masselose Grenze für das Dirac-Feld

Ich stimme dafür, diese Frage als nicht zum Thema gehörend zu schließen, da sie unzureichende Forschung zeigt. Diese Themen werden in praktisch jedem QFT-Buch diskutiert, das Sie zur Hand nehmen (ich schlage Srednicki vor).
Vielleicht war meine Frage nicht sehr gut formuliert. Ich habe Peskin & Schroeder verwendet und die Diskussion über die masselose Grenze gefunden, wo sie erklären, dass die Spinoren degenerieren. Lassen Sie mich meine Frage etwas umformulieren. Es ist immer noch eine einfache Frage, aber nicht ganz trivial (zumindest nicht für mich im Moment).
$u$ Und $v$ niemals unter echte orthochrone Lorentz-Transformationen mischen, egal ob $p$ masselos oder massiv.
Hallo Prahar, ich glaube, ich habe es nicht super gut erklärt. Offensichtlich für unterschiedliche Impulse $v$ Und $u$ mischen kann. Gegeben $u^s(p)$ Und $v^r(q)$ , kann es zu Überschneidungen zwischen ihnen kommen. Für den gleichen Moment $p$ , $u^s(p)$ Und $v^r(p)$ orthogonale Unterräume aufspannen. Allerdings habe ich die masselose Grenze irgendwie nicht richtig hinbekommen und es sieht so aus, als würden sich die Zwischenräume in der masselosen Grenze vermischen. Darauf zielte meine Frage hauptsächlich ab.
Beachten Sie, dass die "räumlichen Wellenfunktionen" entsprechen $u(\textbf{p})$ Und $v(\textbf{p})$ sind bzw $e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ Und $e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Denn die "Ortswellenfunktionen" z $u(\textbf{p})$ Und $v(-\textbf{p})$ sind die gleichen, die entsprechenden spinor Teile, die sind $u(\textbf{p})$ Und $v(-\textbf{p})$ selbst, müssen orthogonal zueinander sein, was ja auch der Fall ist.

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Per Definition der Koeffizient $u_{s}(p)$ ist der Spinor vor $e^{-ipx}$ , während der Koeffizient $v_{s}(p)$ ist der Spinor vor $e^{ipx}$ . Es gibt keine kontinuierlichen Lorentz-Transformationen, die das Vorzeichen der Energie ändern, und daher Ihre Aussage über das Mischen von $u_{s}(p)$ Und $v_{s}(p)$ ist nicht klar.

Beachten Sie auf der anderen Seite, dass für jede Masse der Begriff existiert $v_{s}(p)e^{ipx}$ wird vom Kausalitätsprinzip gefordert: für zwei beliebige Operatoren $A(x), B(y)$ zusammengesetzt aus den relativistischen (fermionischen) Feldern $\psi$ der Mittelwert $[A(x),B(y)]$ ist für raumartige Intervalle Null, was sich in der Anforderung widerspiegelt $[\psi(x),\psi^{\dagger}(y)]_{+} = 0$ für raumähnlich $(y-x)^{2}$ 'S. Letzteres ist ohne die nicht möglich $v_{s}$ Begriff.

Beachten Sie auch das $u_{s}(\mathbf p)$ Und $v_{s}(\mathbf p)$ sind miteinander verwandt, weil das Feld $\psi(x)$ muss unter den Lorentz-Transformationen auf die bestimmte Weise transformiert werden, wie sie das Teilchen mit gegebenem Spin (Helizität) und Masse darstellt. Für massive Fälle lautet eine solche Beziehung beispielsweise

u_{S} (P) = (- 1)^{S + \frac{1}{2}} γ_{5} v_{- S} (P)

$u_{s}(\mathbf p) = (-1)^{s+\frac{1}{2}}\gamma_{5}v_{-s}(\mathbf p)$ Da die Dirac-Gleichung eine korrekte masselose Grenze hat, gilt diese Beziehung im masselosen Fall.

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Ich verstehe nicht, warum du verwirrt bist. Masseloses Limit ist nicht erforderlich $u, v$ verschiedene Unterräume zu überspannen; denn das Antiteilchen verschwindet offensichtlich nicht mit $m\to 0$ . Vielmehr werden die verschiedenen Teilräume aufgespannt $u_{s}, u_{-s}$ Und $v_{s}, v_{-s}$ entsprechend, was einfach die Aussage ist, dass die Dirac-Gleichung auf zwei Weyl-Gleichungen aufgeteilt wird $\sigma^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ Und $\tilde{\sigma}^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich stimme Ihnen auf der Ebene der vollständigen Lösung, die den Wellenfunktionsteil enthält, vollkommen zu. Als ich von Spinor sprach, meinte ich nur den 4-Komponenten-Spinor. Das verstehe ich jetzt $v$ Und $u$ Mischen Sie nicht für die gleichen Momente (mit anderen Worten: die $u(p)$ Und $v(p)$ Unterräume sind stets orthogonal unter der Wirkung der zugeordneten kleinen Gruppe $p$ ). Ich habe in meiner Frage auch klargestellt, worüber ich immer noch verwirrt bin ...
Was meinst du mit $u_{-s}$ ? Ich nehme an, das meinst du $u^s(\vec{p})$ spannt immer einen orthogonalen Unterraum zu auf $v^s(-\vec{p})?$ ? Ich nehme an, das habe ich verwechselt, weil ich mich bei meiner Arbeit auf massive Spinoren mit konzentriert habe $\vec{p}=0$ , also war es egal. Ich denke, das verdeutlicht es für mich. Danke schön!
@LFH: Das meinte ich $u_{1/2}(p)$ Und $u_{-1/2}(p)$ stammen aus verschiedenen Unterräumen, die im masselosen Fall nicht gemischt sind. Aber nicht $u_{s},v_{s}$ .
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Klarstellung verstehe. Was meinst du mit $u_{-1/2}(p)$ . Was ich bisher verstanden habe: Für einen gegebenen 3-Impuls $\vec{p}$ gibt es vier Basisvektoren, die den 4-dimensionalen Spinorraum aufspannen: nämlich erstens $u_s(\vec{p})$ für $s=1,2$ Und $v_s(-\vec{p})$ für $s=1,2$ . Darüber hinaus überspannen diese zwei 2-dimensionale Teilräume, die orthogonal zueinander sind. Ich weiß nicht, was Sie meinen, wenn ein Index, der über 1,2 läuft, ein Minuszeichen bekommt.
@LFH: Ich wollte nur sagen, dass die Werte $\pm 1/2$ entsprechen unterschiedlichen Helizitäten, die in der Grenze von $m\to 0$ voneinander in dem Sinne entkoppeln, dass sie nicht durch die Verwendung der kontinuierlichen Lorentz-Transformationen geändert werden können.
Vielen Dank für all Ihre Kommentare, aber ich bin immer noch verwirrt. Ich denke auch, dass mein ursprünglicher Gedanke, dass ich es verstanden habe, nicht richtig war. Ich werde meine Frage präzisieren und vielleicht können Sie sie kommentieren ...

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