Setup, wie ich die Dinge bisher verstanden habe:
Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, woher der Spin eines Quantenfelds kommt, ist, dass er eine Folge der Art und Weise ist, wie sich verschiedene Arten von Feldern unter Lorentz-Transformationen transformieren.
Der Generator einer Lorentz-Transformation für ein Dirac-Spinorfeld Ist (Ich verwende römische Buchstaben für die antisymmetrischen Indizes, die die Rotationsrichtung darstellen, und griechische für die Ausrichtung des Feldes. Signatur ist .)
Für ein Vektorfeld wie , es ist
Für ein Tensorfeld wie , es sind zwei Kopien von :
Wie zu erwarten ist, gibt es bei diesen Darstellungen des zunehmenden Spins eindeutig eine Struktur.
Nun, obwohl es normalerweise nicht gemacht wird, könnte man die Clifford-Algebra-Relation verwenden:
all diese Generatoren in immer komplexeren Produkten von Gammamatrizen auszudrücken.
Okay, mit all dem Setup ist meine Frage einfach gestellt:
Gibt es eine allgemeine Formel, die man ableiten kann, die das ergibt Spindarstellung in Bezug auf die geeignete Gamma-Matrix-Kombination?
Wie sieht als spezielles Beispiel eine Darstellung für ein Spin-3/2-Feld aus, wie man sie in einer supersymmetrischen Theorie finden könnte?
Okay, darauf war nicht so schwer eine Antwort zu finden, wie ich erwartet hatte. Klarstellungen/Kritiken sind jedoch willkommen.
Weinberg gibt die Antwort im Wesentlichen in Abschnitt 5.6 seines QFT-Buches:
Ein allgemeiner Tensor vom Rang N transformiert sich als direktes Produkt von N (1/2, 1/2) Vier-Vektor-Darstellungen. Es kann daher (durch geeignete Symmetrisierungen und Antisymmetrisierungen und Extrahieren von Spuren) in irreduzible Terme (A,B) mit A = N/2, N/2-1,... und  = N/2, N/2- zerlegt werden. 1, ... . Auf diese Weise können wir jede irreduzible Darstellung (A,B) konstruieren, für die A +  eine ganze Zahl ist. Die Spindarstellungen, für die A +  eine halbe ungerade ganze Zahl ist, können auf ähnliche Weise aus dem direkten Produkt dieser Tensordarstellungen und der Dirac-Darstellung konstruiert werden .
Es scheint also keine einfache Möglichkeit zu geben, die Darstellungen für Spinor- und Vektorgeneratoren zu vereinheitlichen, aber man kann den Generator für beliebige Halbspins konstruieren: Er hat so viele Kopien von nach Bedarf, plus eine Kopie von wenn es eine halbe ganze Zahl ist.
Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Das heißt, ein Spin-Zwei-Feld muss mit zwei Kopien transformiert werden , aber dies garantiert nicht, dass ein Objekt Spin-zwei ist. Ein Gegenbeispiel ist der elektromagnetische Tensor , was sicherlich Spin-One ist. Der Unterschied liegt in der Möglichkeit, die beiden Generatoren aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Tensors gleichzusetzen, wie in dieser Antwort ausgeführt .
Wenden wir dies auf das Spin 3-2-Feld an, erwarten wir, dass es einen Rotationsgenerator hat, der schematisch so aussieht . Und tatsächlich ist dies der Fall – das Äquivalent der Dirac-Gleichung für Spin 3/2 sind die Rarita-Schwinger-Gleichungen:
,
Was sich verwandelt als ,
deren Generatoren die obige Kombination von sind Und .
QMechaniker
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